Достаточные условия существования экстремума

Теорема Ферма является необходимым, но недостаточным условием существования экстремума. Из нее следует, что экстремумы следует искать среди критических точек, или среди тех, где функция не дифференцируема.

Сформулируем достаточное условие существования экстремума.

Теорема 9.3 Пусть функция y=f(x) дифференцируема в окрестности критической точки x₀. Если при переходе через критическую точку слева направо производная меняет знак:

а) с плюса на минус, x₀ –точка максимума;

б) с минуса на плюс, x₀ –точка минимума;

в) сохраняет знак, в точке x₀ экстремума нет.

Доказательство.

а) x₀ –критическая точка;

Если x<x₀ и f'(x)<0, f(x) – убывает, f(x)> f(x₀);

Если x>x₀ f'(x)>0, f(x) – возрастает, f(x)> f(x₀), то есть при любом x из окрестности точки x₀ f(x)> f(x₀), значит x₀ – точка минимума.

Итак, для исследования функции на экстремум, следует найти все критические точки, точки разрыва функции и те точки, где производная не существует. Эти точки разобьют область определения функции на несколько интервалов, в которых знак производной сохраняется. Достаточно определить знак в одной точке каждого интервала, чтобы определить поведение функции на всем интервале.

Пример.

.

+	-	+	+

f(-1)=0

f(- ) -1

f(0)=-1

РРРис. 9.9