Собственные значения и собственные векторы матрицы

Число λ называется собственным значением квадратной матрицы А порядка n, если можно подобрать такой ненулевой n -мерный вектор х, что А х = λ х. Множество всех собственных значений матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения | A – λE | = 0, которое называется характеристическим уравнением матрицы А.

Ненулевой вектор х называется собственным вектором квадратной матрицы А, соответствующим ее собственному значению λ, если А х = λ х. Множество всех собственных векторов матрицы А, соответствующих ее собственному значению λ, совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений

(A – λE) х = θ:

= λ => =>

=> . (1)

Данная системы однородных уравнений имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю:

= 0.

Это и есть характеристическое уравнение матрицы А.

Множество решений системы (1) обозначим через А (λ).

Пусть λ ₁, λ ₂, …, λ_m – различные собственные значения матрицы А и пусть в каждом из множеств А (λ ₁), А (λ ₂), …, А (λ_m) выбраны линейно независимые системы векторов. Тогда объединение этих систем будет линейно независимой системой.

Собственные значения диагональной матрицы равны ее диагональным элементам.

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А = .

Р е ш е н и е. Составим характеристическое уравнение

| A – λE | = = 0

или (4 – λ) (2 – λ)² – 3 – 3 – (4 – λ) + 3(2 – λ) + 3(2 – λ) = 0.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые – λ ³ + 8 λ ² – 25 λ + 18 = 0 или

λ ³ – 8 λ ² + 25 λ – 18 = 0. Отсюда λ ³ – λ ² – 7 λ ² + 7 λ + 18 λ – 18 = 0 или

λ ² (λ – 1) – 7 λ (λ – 1) + 18(λ – 1) = 0.

Вынесем общий множитель за скобки. Тогда получим уравнение (λ – 1) (λ ² – 7 λ + 18) = 0.

Произведение равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю. Получаем совокупность уравнений

=>

Второе уравнение – квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом

D = (–7)² – 4·18 = 49 – 72 = –23.

Следовательно, оно не имеет действительных корней. Поэтому характеристическое уравнение имеет только один действительный корень λ = 1, а матрица только одно собственное значение

λ = 1. Найдём собственный вектор, принадлежащий этому собственному значению, решая уравнение

= .

Расписывая по компонентам и подставляя λ = 1, получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

Второе и третье уравнения одинаковые. Поэтому систему можно переписать в виде:

Сложим оба уравнения, а затем из второго вычтем первое. Получим Отсюда

и мы имеем собственный вектор x = = α .

Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .

Р е ш е н и е. 1. Характеристическое уравнение имеет вид

= 0 или λ ³ – 6 λ ² + 11 λ – 6 = 0.
Отсюда λ ₁ = 1, λ ₂ = 2, λ ₃ = 3.

2. Находим собственные векторы, соответствующие λ = 1.

Решая ее, получим x ₁ = x ₂ = x ₃. Собственные векторы, соответствующие собственному значению λ = 1, имеют вид х = α , где α ≠ 0 – произвольная константа.

Далее рассматриваем случай λ = 2:

Решая ее, получим x ₁ = x _3; x ₂ = 0. Собственные векторы, соответствующие собственному значению λ = 2, имеют вид х = α , где α ≠ 0 – произвольная константа.

Случай λ = 3:

Решая ее, получим x ₁ = x _2; x ₃ = 0. Собственные векторы, соответствующие собственному значению λ = 3, имеют вид х = α , где α ≠ 0 – произвольная константа.

Пример 3. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А = .

Р е ш е н и е. Найдем характеристическое уравнение матрицы А:

| A – λE | = = - λ ³ + 3 λ + 2.

Далее находим корни этого характеристического уравнения - λ ³ + 3 λ + 2 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители: – (λ – 2)(λ + 1)² = 0.

Следовательно, матрица А имеет два собственных значения: λ ₁ = 2, λ ₂ = -1.

Следующим шагом находим собственные векторы, соответствующие собственному значению λ = 2. Для этого решаем систему уравнений

= 2 ó ó .

Получили однородную систему линейных уравнений. Находим ее фундаментальную систему решений:

~ ~ ~ ~ =

ð . Общее решение: Х _о = . Свободный член один х ₃. Положив

х ₃ = 1, получим фундаментальную систему решений, которая состоит из одного вектора . Т.о., вектор α · = , α R, – произвольный собственный вектор, соответствующий собственному значению λ = 2.

Затем находим собственные векторы, соответствующие собственному значению

λ = -1. Для этого решаем систему уравнений

= - ó ó .

Получили однородную систему линейных уравнений. Находим ее фундаментальную систему решений:

~ => х ₁ + х ₂ + х ₃ = 0. Общее решение: Х _о = . Полагая последовательно х ₂ = 1, х ₃ = 0 и х ₂ = 0, х ₃ = 1, получим фундаментальную систему решений,

которая состоит из двух векторов и . Т.о., вектор α · + β = ,

α, β R, – произвольный собственный вектор, соответствующий собственному значению λ = -1.

Задания. Найти собственные значения и собственные векторы матриц:

1. А ₁ = , 2. А ₂ = , 3. А ₃ = , 4. А ₄ = ,

5. А ₅ = .

2.2. Приведение квадратной матрицы к диагональному виду

Матрица А приводится к диагональному виду, если можно подобрать такую невырожденную матрицу T, что Т ^–1 А Т – диагональная матрица. Матрица А порядка n приводится к диагональному виду тогда и только тогда, когда в пространстве Rⁿ имеется базис, состоящий из собственных векторов матрицы А. Столбцами матрицы T являются координаты векторов этого базиса.

В пространстве Rⁿ имеется базис, состоящий из собственных векторов матрицы А, тогда и только тогда, когда объединение базисов подпространств А (λ ₁), А (λ ₂), …, А (λ_m) является базисом пространства Rⁿ, где λ ₁, λ ₂, …, λ_m – все различные собственные значения матрицы А.

Правило построения матрицы Т, приводящей матрицу А порядка n к диагональному виду:

1. Найти все собственные значения матрицы А.

2. Для каждого собственного значения λ_i найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений (A – λ_i E) х = θ.

3. Построить матрицу T, столбцами которой являются координаты решений всех найденных фундаментальных систем.

4. Если полученная матрица T является квадратной, то она приводит матрицу А к диагональному виду. Если же матрица T не будет квадратной, то матрица А не может быть приведена к диагональному виду.

Пример 1. Найти матрицу Т, которая приводит матрицу А = к

диагональному виду. Найти матрицу В = Т ^–1 А Т.

Р е ш е н и е. Вычислим определитель матрицы A – λE:

| A – λE | = = (2 – λ)²(4 – λ) + 6 + 4(2 – λ) – 3(4 – λ) =

= (2 – λ) ((2 – λ) (4 – λ) + 4) – 3(2 – λ) = (2 – λ) (λ ² – 6 λ + 8 + 4 – 3) =

= (2 – λ) (λ ² – 6 λ + 9) = (2 – λ) (λ – 3)².

Собственные значения матрицы А равны 2 и 3.

Теперь надо найти фундаментальные системы решений систем уравнений (A – 2 E) х = θ и (A – 3 E) х = θ:

Находим собственные векторы, соответствующие λ = 2.

=> ~ ~ ~

~ => Решая данную систему, получим x ₁ = 0, x ₂ = – x ₃. Фундаментальная система решений состоит из одного вектора .

Далее рассматриваем случай λ = 3:

=> ~ ~ ~

=> Решая данную систему, получим x ₂ = – x _3; x ₁ = x ₃.

Фундаментальная система решений состоит из одного вектора .

Следовательно, матрица Т имеет вид: Т = . Полученная матрица не является квадратной, поэтому матрица А не приводится к диагональному виду.

Пример 2. Найти матрицу Т, которая приводит матрицу А = к диагональному

виду. Найти матрицу В = Т ^–1 А Т.

Р е ш е н и е. Вычислим определитель матрицы A – λE:

| A – λE | = = λ ² – 9 + 8 = λ ² – 1 = 0.

Собственные значения матрицы А равны –1 и 1.

Теперь надо найти фундаментальные системы решений систем уравнений (A + E) х = θ и (A –E) х = θ:

Находим собственные векторы, соответствующие λ = –1.

=> ~ ~ => x ₁ + x ₂ = 0. Решая данную систему, получим x ₁ = – x ₂. Фундаментальная система решений состоит из одного вектора .

Далее рассматриваем случай λ = 1:

=> ~ ~ => 2 x ₁ + x ₂ = 0. Решая данное уравнение, получим x ₁ = – x ₂.

Фундаментальная система решений состоит из одного вектора .

Следовательно, матрица Т имеет вид: Т = .

Ищем обратную к матрице Т: Т ^–1 = . | T | = –1, = => Т ^–1 = .

Матрица В = Т ^–1 А Т:

Т ^–1 А = = ; Т ^–1 А Т = = .

Задания. Найти матрицу Т, которая приводит данную матрицу А к диагональному виду, и найти матрицу В = Т ^–1 А Т.

1. А = , 2. А ₂ = , 3. А ₃ = ,

4. А ₄ = .

2.3. Ортогональные и симметрические матрицы

Матрица А ^Т, столбцами которой являются строки матрицы А, называется транспонированной к А.