Базис и ранг системы векторов

Часть системы векторов называется базисом этой системы, если:

1) эта часть является линейно независимой системой векторов;

2) каждый вектор системы разлагается по векторам этой части.

Диагональная система векторов является базисом каждой системы, которая содержит ее в качестве части.

Если система уравнений

a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + … + a _n x_n = Θ

является разрешенной, то векторы-коэффициенты при неизвестных, составляющих набор разрешенных неизвестных, образуют диагональную часть системы векторов a ₁, a ₂, …, a _n.

Векторы системы разлагаются по базису этой системы е д и н с т в е н н ы м образом.

Каждую линейно независимую часть системы векторов можно дополнить до базиса этой системы.

Все базисы данной системы состоят из одного и того же числа векторов.

Рангом системы векторов называется число векторов в любом ее базисе. Если ранг системы векторов равен r, то каждая линейно независимая часть этой системы, состоящая из r векторов, является ее базисом. Системы векторов называются эквивалентными, если векторы одной системы разлагаются по векторам другой системы и наоборот. Ранги эквивалентных систем равны.

Вектор b тогда и только тогда разлагается по системе векторов a ₁, a ₂, …, a _m, когда ранги систем a ₁, a ₂, …, a _m и a ₁, a ₂, …, a _m, b равны.

Построение базиса системы векторов a ₁, a ₂, …, a_n и разложений векторов по базису:

1) Рассмотреть систему уравнений a ₁ x ₁ + a ₂ x ₂ + … + a _n x_n = Θ и найти равносильную ей разрешенную систему уравнений

a´ ₁ x ₁ + a´ ₂ x ₂ + … + a´ _n x_n = Θ.

2) Найти диагональную часть системы векторов a´ ₁, a´ ₂, …, a´ _n.

3) Отметить векторы системы a ₁, a ₂, …, a _n, соответствующие диагональной части системы a´ ₁, a´ ₂, …, a´ _n; они образуют базис системы a ₁, a ₂, …, a _n.

4) Разложить вектор a´ _j по диагональной части системы a´ ₁, a´ ₂, …, a´ _n; вектор a _j, 1 ≤ j ≤ n, разлагается по базису, найденному в пункте 3, с коэффициентами разложения a´ _j по диагональной части системы a´ ₁, a´ ₂, …, a´ _n.