 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Пример 1. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:
|
|
Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:
a 1 = { 3, 5, 1, 4 }, a 2 = { –2, 1, -5, -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.
Р е ш е н и е. Ищем общее решение системы уравнений
a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ
методом Гаусса. Для этого запишем эту однородную систему по координатам:
Матрица системы
~ 
~ 
~ 
.
Разрешенная система имеет вид: 
(rA = 2, n = 3). Система совместна и неопределена. Ее общее решение (x 2 – свободная переменная): x 3 = 13 x 2; 3 x 1 – 2 x 2 – 13 x 2 = 0 => x 1 = 5 x 2 => X o = 
. Наличие ненулевого частного решения, например, 
, говорит о том, векторы a 1, a 2, a 3 линейно зависимы.
Пример 2.
Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:
1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.
Р е ш е н и е. Рассмотрим однородную систему уравнений a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ
или в развернутом виде (по координатам)
Система однородна. Если она невырождена, то она имеет единственное решение. В случае однородной системы – нулевое (тривиальное) решение. Значит, в этом случае система векторов независима. Если же система вырождена, то она имеет ненулевые решения и, следовательно, она зависима.
Проверяем систему на вырожденность:
= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.
Система невырождена и, т.о., векторы a 1, a 2, a 3 линейно независимы.
Задания. Выяснить, является ли данная система векторов линейно зависимой или линейно независимой:
1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.
2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.
3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7, -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.
4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.
5. a 1 = { 1, 8, -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.
6. a 1 = { 1, 2, 3 }, a 2 = { 2, -1, 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.
7. a 1 = {0, 1, 1, 0}, a 2 = {1, 1, 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.
8. a 1 = {-1, 7, 1, -2}, a 2 = {2, 3, 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.
9. Доказать, что система векторов будет линейно зависимой, если она содержит:
а) два равных вектора;
б) два пропорциональных вектора.
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 13995 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
