Пример. Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису:

Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису:

а ₁= {5, 2, -3, 1}, а ₂= {4, 1, -2, 3}, а ₃= {1, 1, -1, -2}, а ₄= {3, 4, -1, 2}, а ₅= {13, 8, -7, 4}.

Р е ш е н и е. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений

а ₁ х ₁ + а ₂ х ₂ + а ₃ х ₃ + а ₄ х ₄ + а ₅ х ₅ = 0

или в развернутом виде .

Будем решать эту систему методом Гаусса, не меняя местами строки и столбцы, и, кроме того, выбирая главный элемент не в верхнем левом углу, а по всей строке. Задача состоит в том, чтобы выделить диагональную часть преобразованной системы векторов.

~ ~

~ ~ ~ .

Разрешенная система векторов, равносильная исходной, имеет вид

а ₁¹ х ₁ + а ₂¹ х ₂ + а ₃¹ х ₃ + а ₄¹ х ₄ + а ₅¹ х ₅ = 0,

где а ₁¹ = , а ₂¹ = , а ₃¹ = , а ₄¹ = , а ₅¹ = . (1)

Векторы а ₁¹, а ₃¹, а ₄¹ образуют диагональную систему. Следовательно, векторы а ₁, а ₃, а ₄ образуют базис системы векторов а ₁, а ₂, а ₃, а ₄, а ₅ .

Разложим теперь векторы а ₂ и а ₅ по базису а ₁, а ₃, а ₄ . Для этого сначала разложим соответствующие векторы а ₂¹ и а ₅¹ по диагональной системе а ₁¹, а ₃¹, а ₄¹, имея в виду, что коэффициентами разложения вектора по диагональной системе являются его координаты x_i.

Из (1) имеем:

а ₂¹ = а ₃¹ · (-1) + а ₄¹ · 0 + а ₁¹ ·1 => а ₂¹ = а ₁¹ – а ₃¹.

а ₅¹ = а ₃¹ · 0 + а ₄¹ · 1 + а ₁¹ ·2 => а ₅¹ = 2 а ₁¹ + а ₄¹.

Векторы а ₂ и а ₅ разлагаются по базису а ₁, а ₃, а ₄ с теми же коэффициентами, что и векторы а ₂¹ и а ₅¹ по диагональной системе а ₁¹, а ₃¹, а ₄¹ (те коэффициенты x_i). Следовательно,

а ₂ = а ₁ – а ₃, а ₅ = 2 а ₁ + а ₄.

Задания. 1. Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в базис, разложить по базису:

1. a ₁ = { 1, 2, 1 }, a ₂ = { 2, 1, 3 }, a ₃ = { 1, 5, 0 }, a ₄ = { 2, -2, 4 }.

2. a ₁ = { 1, 1, 2 }, a ₂ = { 0, 1, 2 }, a ₃ = { 2, 1, -4 }, a ₄ = { 1, 1, 0 }.

3. a ₁ = { 1, -2, 3 }, a ₂ = { 0, 1, -1 }, a ₃ = { 1, 3, 0 }, a ₄ = { 0, -7, 3 }, a ₅ = { 1, 1, 1 }.

4. a ₁ = { 1, 2, -2 }, a ₂ = { 0, -1, 4 }, a ₃ = { 2, -3, 3 }.

2. Найти все базисы системы векторов:

1. a ₁ = { 1, 1, 2 }, a ₂ = { 3, 1, 2 }, a ₃ = { 1, 2, 1 }, a ₄ = { 2, 1, 2 }.

2. a ₁ = { 1, 1, 1 }, a ₂ = { -3, -5, 5 }, a ₃ = { 3, 4, -1 }, a ₄ = { 1, -1, 4 }.