Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
1. Простейший метод состоит в нахождении седловой точки для чистых стратегий. Если такая седловая точка существует, то две чистые стратегии, которые к ней приводят, являются оптимальными.
2. Для уменьшения размерности игры используется доминирование строк и столбцов.
Говорят, что k -я строка матрицы R доминирует i -ю строку (т.е. одна чистая стратегия доминирует другую), если
при всех j.
Аналогично l -й столбец доминирует j -й столбец, если
при всех i.
Заметим, что доминирующая стратегия никогда не хуже, а в некоторых случаях и лучше, чем доминируемая. Игроку невыгодно использовать доминируемую стратегию, и она не должна войти в оптимальную смешанную стратегию. Это позволяет при решении игры все доминируемые строки и столбцы отбросить, т.е. уменьшить размеры матрицы.
Пример
Рассмотрим игру с матрицей
.
Вторая строка доминирует третью. Исключение третьей строки приводит к матрице
.
Первый столбец в этой урезанной матрице доминирует второй. Исключение второго столбца приводит к матрице
.
Найдя решение полученной игры, легко получить решение исходной игры, приписав исключенным строкам и столбцам нулевые вероятности.
3. Существуют простые процедуры получения решения игр малой размерности. Рассмотрим один из них на примере игры 2´2.
Пример
Рассмотрим игру с платежной матрицей
.
Эта игра не имеет решения в чистых стратегиях, так как
.
Будем искать решение этой игры в смешанных стратегиях.
Пусть p и q – вероятности выбора игроками А и Б, соответственно, первой чистой стратегии. Тогда и (1-q) – вероятности выбора ими второй чистой стратегии.
Математическое ожидание результата .
Для определения оптимальной стратегии игрока А нужно найти
.
Сначала при фиксированном значении p необходимо найти максимум по q, а для этого разобьем область изменения p на два интервала [0,0.4] и [ 0.4,1] знакопостоянства выражения (5p-2) и решим эту задачу на каждом из этих интервалов.
;
Итак, мы определили, что оптимальной для игрока А будет смешанная стратегия, при которой первая чистая стратегия выбирается им с вероятностью (или частотой) 0,4, а вторая - с вероятностью 0,6. Цена игры - 3,2.
Аналогично задача решается и для игрока Б.
С ростом размерности матрицы платежей сложность задачи заметно возрастает.
4. Для решения больших игр предложено несколько методов. Наиболее распространенным является определение оптимальной стратегии методами линейного программирования.
Теорема. Каждой матричной игре m´n с платежной матрицей Rэквивалентна следующая пара двойственных задач линейного программирования:
минимизировать целевую функцию при условиях
(1)
максимизировать целевую функцию при условиях
(2)
Составляющие оптимальных смешанных стратегий игры и цена игры V связаны с компонентами оптимальных планов задачи ЛП соотношениями
(3)
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 285 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!