Элементы теории игр

Матричные игры

Варианты заданий

Для следующих задач необходимо по заданной матрице платежей игрока А найти цену игры и оптималь­ные стратегии игроков А и В.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11) 12)

13) 14) 15)

16) 17) 18)

19) 20) 21)

22) 23) 24)

25) 26) 27)

28) 29) 30)

Элементы теории игр

Теория игр впервые была систематически изложена Нейманом и Мор­ген­штер­ном в 1944 г., хотя отдельные результаты были опубли­ко­ва­ны еще в 20-е годы. Теория игр широко применяется в эко­но­ми­ке, так как экономи­чес­ким конфликтам легко придать численную форму.

Теория игр - это математическая теория выбора решений участ­ни­ка­ми конфликтных ситуаций, когда имеются две или более сто­ро­ны, дей­ст­вия которых друг против друга имеют различный результат в зави­си­мости от выбранных участниками способов проведения опе­ра­ции.

Раз­личают антагонистические игры и игры с непротиво­по­лож­ны­ми ин­те­ресами. Антагонистическими называются игры, в кото­рых интересы сторон противоположны.

По информации, которой располагают игроки относи­тель­но прош­лых хо­дов, различают игры с полной и неполной инфор­ма­цией. Игрой с полной ин­формацией называется игра, в которой каж­дый игрок при каждом ходе знает все предыдущие выборы всех учас­т­ников игры и их результаты. В про­тивном случае игра назы­ва­ет­ся игрой с непол­ной информацией. Возникающие на практике конф­ликт­ные ситуации ча­ще сводятся к играм с неполной инфор­ма­цией, так как противники стре­мятся скрыть свои выборы.

Введем принятую в теории игр терминологию.

Операция называет­ся игрой. Стороны, участвующие в игре, назы­ва­ют иг­роками. Критерии эффективности игроков называют платеж­ны­ми функ­ция­ми. Выбор игроком стратегии называют ходом. Игра со­с­тоит в том, что игроки по очереди делают ходы. Совокупность ходов, реа­лизующая игру, называется партией. Игры с конечным числом игро­ков, конечным числом стратегий у каж­до­го игрока и конечным числом хо­дов в партиях называются конечными играми.

Мы ограничимся рассмотрением только позиционных игр. В по­зи­цион­ной игре n лиц разрешенные ходы указаны в их логической по­сле­довательнос­ти. Каждый ход производится либо игроком (личный ход), либо случайным об­ра­зом (случайный ход). Во втором случае за­дается распределение вероятнос­тей. В каждой окончательной позиции иг­ры значение исхода (платежа) выража­ют при помощи вектора , где - выигрыш i -го игрока при дан­ном исходе.

Позиционную игру можно представить в виде дерева, где корень соот­вет­ствует начальной позиции игры. Каждый узел представляет опре­де­ленную воз­можную по­зи­цию игры, а каждая дуга – ход в игре.

Информация задается при помощи информационных множеств. Две по­зиции принадлежат одному и тому же информационному мно­жест­ву, если иг­рок, которому следует ходить в каждой из этих позиций, не мо­жет отличить одну позицию от другой.

Стратегия представляет собой некоторое правило, описывающее дейст­вия игрока, т.е. указывает, какую альтернативу следует выбирать в каждом ин­фор­мационном множестве.

Если зафиксировать стратегии игроков, то исход игры определен, за ис­клю­чением возможных случайных ходов. Если заданы и вероят­нос­ти случай­ных ходов, то ожидаемый выигрыш (проигрыш) каждого игро­ка также пол­нос­тью определен.

Нормальной формой игры называется функция, ставящая в со­от­­вет­ст­вие каждому набору стратегий вектор выиг­ры­шей .

Некоторый набор из n стратегий называется равно­вес­ным, если для каждого игрока i и для каждой его стратегии

.

Другими словами, если набор из n стратегий равновесный, то ни один из игроков не может увеличить свой выигрыш, изменяя стратегию в односторон­нем порядке.

Большинство игр не имеют равновесных наборов. Гарантировать сущест­во­вание равновесного n -набора можно, только располагая полной информацией: когда в окончательной позиции игры каждый игрок знает все свои ходы вплоть до этой позиции, игра имеет, по крайней мере, один равновесный набор (одну си­туацию равновесия).