Решение. Рассчитав коэффициенты уравнения регрессии, получим уравнение регрессии:

Рассчитав коэффициенты уравнения регрессии, получим уравнение регрессии:

.

Несмещенная оценка остаточной дисперсии:

.

Несмещенная оценка дисперсии регрессии

.

Рассчитываем опытное значение критерия . По таблице критических точек распределения Фишера определяем . Т.к. , то полученное уравнение регрессии значимо, т.е. хотя бы один из коэффициентов уравнения регрессии не равен нулю.

Статистические оценки дисперсий коэффициентов уравнения регрессии определим, умножив на диагональные элементы обратной матрицы , получим: . Проверяем значимость коэффициентов и , т.е. гипотезу .

.

С помощью таблицы критических точек распределения Стьюдента по и определяем .

, коэффициент значим;

, коэффициент значим.

Определим с доверительной вероятностью интервальные оценки для коэффициентов регрессии:

;

;

.

В пакете Анализ данных инструмент Регрессия предлагает линейный регрессионный анализ, который заключается в подборе графика для набора наблюдений с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений одной или более независимых переменных.

Рассмотрим работу пакета для проведения регрессионного анализа (рис. 16).

В категории Входные данные необходимо указать:

– Входной интервал Y – диапазон анализируемых зависимых данных; диапазон должен состоять из одного столбца;

– Входной интервал X – диапазон независимых данных, подлежащих анализу. Microsoft Excel располагает независимые переменные этого диапазона слева направо в порядке возрастания. Максимальное число входных диапазонов равно 16;

– Константа – ноль – установите флажок, чтобы линия регрессии прошла через начало координат (коэффициент );

– Уровень надежности – установите флажок, чтобы включить в выходной диапазон дополнительный уровень. В соответствующее поле введите уровень надежности, который будет использован дополнительно к уровню 95 %, применяемому по умолчанию.

Excel предлагает в качестве параметров вывода Остатки (Остатки; Стандартизованные остатки; График остатков; График подбора) и Нормальную вероятность (График нормальной вероятности).

Решим пример 10, используя инструмент Регрессия.

Алгоритм действий следующий:

1. Формируем таблицу исходных данных (рис. 16):

2. Сервис | Анализ данных | Регрессия | ОК;

3. Входной интервал Y: А2:А16;

4. Входной интервал X: В2:С 16:

5. Уровень надежности: 90 %;

6. Выходной интервал: А18;

7. Поставить флажки в категории Остатки и Нормальная вероятность;

8. ОК.

Excel представит решение, показанное на рис. 17.

Результаты представлены в виде пяти таблиц.

1. Регрессионная статистика. В таблице представлены:

– Множественный R – множественный коэффициент корреляции;

– R -квадрат – квадрат множественного коэффициента корреляции;

– Нормированный R- квадрат – нормированный квадрат множественного коэффициента корреляции;

– Стандартная ошибка – ;

– Наблюдения.

2. Дисперсионный анализ. В таблице представлены (для регрессии и остатков):

– df – число степеней свободы;

– SS – суммы квадратов разностей;

– MS – оценки дисперсий;

– F – вычисленное значение критерия Фишера ;

– Значимость F.

3. Таблица с информацией об уравнении регрессии. В представлены (для переменной (Y – пересечение), ):

– Коэффициенты – и ;

– Стандартная ошибка – и ;

– t – статистика – и ;

– Р – значение – вероятность значимости;

– Нижние 95 % и Верхние 95 %, Нижние 90 % и Верхние 90 % – интервальные оценки для коэффициентов регрессии с доверительной вероятностью и соответственно.

4. Вывод остатка. В таблице представлены:

– Наблюдение – порядковый номер значения производительности труда (у) в таблице исходных данных;

– Предсказанное у – значение производительности труда , рассчитанное по уравнению регрессии;

– Остатки – ;

– Стандартные остатки.

5. Вывод вероятности. В таблице представлены:

– Персентиль – рассчитывается для каждого значения у как сумма предшествующего вычисленного значения персентиля и наблюдения; начальное и конечное значения персентиля рассчитываются как и соответственно;

– у – значения производительности труда, расположенные в порядке возрастания.

Кроме таблиц, Excel представляет следующие графики, показанные на рис. 18-20.

1. График нормального распределения строится по данным таблицы Вывод вероятности.

2. Графики остатков для переменных и .

3. Графики подбора для переменных и .