Проверка гипотезы о равенстве средних при разных дисперсиях

Парный двухвыборочный t-тест Стьюдента используется для проверки гипотезы о равенстве средних для двух выборок из одной генеральной совокупности. При этом равенство дисперсий не предполагается.

При такой организации выборок возможна корреляционная зависимость выборочных случайных величин X и Y. Для оценки зависимости этих случайных величин рассчитывают выборочный коэффициент корреляции

.

Требуется проверить нулевую гипотезу . Другими словами, необходимо установить, значимо или незначимо различаются статистические оценки и , вычисленные по выборкам объемом n из одной генеральной совокупности.

Проверка статистической гипотезы проводится следующим образом: вычисляют разности выборочных значений и

Полученный ряд разностей считается выборкой объемом n.

Рассчитывают характеристики новой выборки:

;

.

Вычисляют средние значения , опытное значение критерия , число степеней свободы .

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы, при этом рассматриваются три случая:

1. Нулевая гипотеза .

Конкурирующая гипотеза .

В этом случае строят двустороннюю критическую область. Вычисляют опытное значение критерия , определяют число степеней свободы. По таблице критических точек распределения Стьюдента (Приложение 2), по заданному уровню значимости а и числу степеней свободы k определяют критическую точку .

Если , оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет. Если , нулевую гипотезу отвергают.

2. Нулевая гипотеза .

Конкурирующая гипотеза .

В этом случае строят правостороннюю критическую область.

Вычисляют опытное значение критерия и число степеней свободы. Критическую точку определяют по уровню значимости .

Если , оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет.

Если , нулевую гипотезу отвергают.

3. Нулевая гипотеза .

Конкурирующая гипотеза .

В этом случае строят левостороннюю критическую область. Т.к. распределение Стьюдента симметрично, то критическую точку определяют как и во втором случае, только со знаком «минус».

Если , оснований отвергнуть нулевую гипотезу нет.

Если , нулевую гипотезу отвергают.

По результатам проверки статистических гипотез можно вычислить совокупную дисперсию двух выборок

.

Пример 5. Необходимо сравнить работу двух штангенциркулей, используемых для проверки размеров некоторых деталей. Из партии была сделана случайная выборка объемом и проведены замеры обоими приборами. Результаты замеров представлены в табл. 2.

Таблица 2

Штангенциркуль № 1,	76,10	76,20	76,00	76,04	76,10	76,08	76,18	76,02	76,12	76,06
Штангенциркуль № 2,	76,20	76,00	76,25	76,02	76,18	76,06	76,04	76,25	76,00	76,10
	0,10	-0,20	0,25	-0,02	0,08	-0,02	-0,14	0,23	-0,12	0,04

Необходимо при уровне значимости определить имеются ли существенные различия между штангенциркулями № 1 и № 2, т.е. проверить нулевую гипотезу , при конкурирующей гипотезе .