Анализ и прогнозирование временных рядов с трендом

К числу приемов выявления основной тенденции временных рядов можно отнести укрупнение интервалов, сглаживание и аналитическое выравнивание.

Укрупнение интервалов представляет собой замену данных, имеющих отношение к мелким временным периодам, данными по более крупным периодам. Например, можно заменить суточные данные недельными или декадными, декадные – месячными, месячные – квартальными и т.д.

Например, объем продажи валюты на биржах меняется изо дня в день под влиянием самых разнообразных факторов, включая и чисто случайные. Относительно меньшую колеблемость обнаруживают недельные объемы продажи валюты, еще меньшую - месячные и далее - квартальные. Объединив мелкие интервалы в крупные, мы погасим известную часть случайной колеблемости и получим возможность более отчетливо показать основную тенденцию развития событий на валютных биржах.

Недостатком этого приема является то, что с переходом к более крупным интервалам длина ряда сильно укорачивается. Поэтому, имея очень короткий ряд, выявить с его помощью какую-либо тенденцию развития невозможно. Таким образом, применение этого приема приходится ограничить лишь теми случаями, когда исходный временной ряд достаточно длинен.

Сглаживание временных рядов осуществляется с помощью скользящей средней. Эта средняя исчисляется для нескольких уровней, входящих в интервал сглаживания, и затем (при центрировании) относится к середине этого интервала.

Расчет скользящей средней по данным примера о динамике добычи угля в Ростовской области (таблица 4.1.) имеет следующий вид:

Таблица 4.3. Сглаживание ряда добычи угля в Ростовской области с помощью скользящей средней

Год	Добыча угля
Фактические данные	Данные, сглаженные с помощью скользящей средней
	19,4	-
	16,7	(19,4+16,7+14,1):3 = 16,73
	14,1	(16,7+14,1+10,9):3 = 13,9
	10,9	(14,1+10,9+10,1):3 = 11,97
	10,1	-

В общем виде расчет скользящей средней для i-того периода можно записать так:

(4.1)

Эта формула верна для сглаживания по трем точкам.

Для для сглаживания по пяти точкам она примет следующий вид:

Сглаживание методом скользящей средней можно проводить по любому числу членов т, но удобнее, если т — нечетное число, так как в этом случае скользящая средняя сразу относится к конкретной временной точке — середине (центру) интервала. Если же т — четное, то скользящая средняя относится к промежутку между временными точками: например, при сглаживании по четырем членам средняя из первых четырех уровней будет находиться между второй и третьей датой, следующая средняя — между третьей и четвертой и т.д. Тогда, чтобы сглаженные уровни относились непосредственно к конкретным временным точкам (датам), из каждой пары смежных промежуточных значений скользящих средних находят среднюю арифметическую, которую и относят к определенной дате (периоду). Такой прием называется центрированием.

Недостатком метода скользящей средней является то, что сглаженный ряд «укорачивается» по сравнению с фактическим с двух концов: при нечетном т на (m - 1)/2 с каждого конца, а при четном — на т/2 с каждого конца.

Применяя этот метод, надо помнить, что он сглаживает (устраняет) лишь случайные колебания.

Если же, например, ряд содержит сезонную волну, она сохранится и после сглаживания методом скользящей средней.

Кроме того, этот метод сглаживания, как и укрупнение интервалов, является механическим, эмпирическим и не позволяет выразить общую тенденцию изменения уровней в виде математической модели.

Аналитическое выравнивание. Более совершенный метод обработки временных рядов в целях устранения случайных колебаний и выявления тренда — выравнивание уровней ряда по аналитическим формулам (аналитическое выравнивание). Суть аналитического выравнивания заключается в замене эмпирических (фактических) уровней y теоретическими , которые рассчитаны по определенному уравнению, принятому за математическую модель тренда, где теоретические уровни рассматриваются как функция времени: .

При этом каждый фактический уровень y рассматривается как сумма двух составляющих: , где — систематическая составляющая, отражающая тренд и выраженная определенным уравнением, а — случайная величина, вызывающая колебания уровней вокруг тренда.

Задача аналитического выравнивания сводится к следующему:

· определение на основе фактических данных вида (формы) гипотетической функции , способной наиболее адекватно отразить тенденцию развития исследуемого показателя;

· нахождение по эмпирическим данным параметров указанной функции (уравнения);

· расчет по найденному уравнению теоретических (выравненных) уровней.

Наиболее простые модели аналитического выравнивания:

- линейная: ;

- показательная: ;

- экспоненциальная: ;

- гиперболическая: ;

- парабола 2-го порядка: и др.

Несложно заметить, что в качестве объясняющей переменной в трендовых уравнениях регрессии выступает фактор времени t.

Выбор аналитической функции для выравнивания временного ряда осуществляется, как правило, на основании графического изображения эмпирических данных, дополняемого содержательным анализом особенностей развития исследуемого показателя (явления). Вспомогательную роль при выборе аналитической функции играют механические приемы сглаживания (укрупнение интервалов и метод скользящей средней). Частично устраняя случайные колебания, они помогают более точно определить тренд и выбрать адекватную модель для аналитического выравнивания.

Существует ряд рекомендаций для выбора аналитической функции:

1. Выравнивание по прямой (линейной) функции эффективно для рядов, уровни которых изменяются примерно в арифметической прогрессии, т.е. когда первые разности уровней (абсолютные приросты) примерно постоянны.

2. Если примерно постоянны вторые разности уровней (ускорения), то такое развитие хорошо описывается параболой 2-го порядка . Если постоянны п- е разности уровней, можно использовать параболу п-го порядка , позволяющую «улавливать» перегибы, смену направлений изменения уровней. Парабола 2-го порядка отражает развитие с ускоренным или замедленным изменением уровней ряда.

3. Если при последовательном расположении t (меняющемся в арифметической прогрессии) значения уровней меняются в геометрической прогрессии, т.е. цепные коэффициенты роста примерно постоянны, то такое развитие можно отразить показательной или экспоненциальной функцией.

4. Если обнаружено замедленное снижение уровней ряда, которые по логике не могут снизиться до нуля, для описания характера тренда выбирают гиперболу и т.д.

Рассмотрим выбор формы уравнения тренда на следующем примере:

Таблица 4.4. Динамика среднегодовой численности промышленно-производственного персонала в промышленности в Ростовской области (тыс.чел.)

Годы	Среднегодовая численность промышленно-производственного персонала в промышленности
	569,7
	516,4
	472,0
	431,0
	395,8
	365,1

Расчитаем первые и вторые разности, а также коэффициенты роста.

	yt
	569,7
	516,4	-53,3		0,906
	472,0	-44,4	8,9	0,914
	431,0	-41,0	3,4	0,913
	395,8	-35,2	5,8	0,918
	365,1	-30,7	4,5	0,922

Наибольшей стабильностью отличаются коэффициенты роста, поэтому, видимо, для описания тренда следует выбрать либо показательную, либо экспоненциальную функцию.

К аналогичным выводам можно прийти, анализируя график динамики среднегодовой численности ППП в Ростовской области (рис. 12).

Судя по графику динамики среднегодовой численности ППП в Ростовской области, для прогноза лучше всего использовать показательную, экпоненциальную либо линейную функцию.

Рис.12. Динамика среднегодовой численности ППП в Ростовской области

Несмотря на эти выводы, рассмотрим механизм расчета параметров всех вышеперечисленных моделей.

Параметры искомых уравнений при аналитическом выравнивании могут быть определены различными способами. Чаще всего для этого используется метод наименьших квадратов.

В частности для нахождения параметров уравнения прямой может быть использован следующий алгоритм:

(4.2)

Если периоды или моменты времени пронумеровать так, чтобы получилось , то вышеприведенные алгоритмы существенно упростятся и примут следующий вид:

(4.3)

В нашем примере – 6 уровней ряда. Для того, чтобы сумма порядковых номеров уровней ряда была равна нулю, нулевым моментом следует принять промежуток между 1995 и 1996 гг. Тогда порядковый номер 1993 года будет равен -2,5, 1994 - -1,5 и т.д. Их сумма равна нулю, что в дальнейшем упростит расчеты. Для их осуществления составим рабочую таблицу 4.5:

Таблица 4.5.

Годы	T	y	Yt	t2
	-2,5	569,7	-1424,25	6,25
	-1,5	516,4	-774,6	2,25
	-0,5	472,0	-236	0,25
	0,5	431,0	215,5	0,25
	1,5	395,8	593,7	2,25
	2,5	365,1	912,75	6,25
Суммы			-712,9	17,5

Отсюда:

При таких параметрах уравнение получит следующий вид:

Дадим интерпретацию параметров тренда.

Коэффициент регрессии (b) в линейном тренде показывает средний за период цепной абсолютный прирост уровней ряда. В нашем примере b = -40,73, следовательно среднегодовая численность ППП в среднем за год снижается на 40,73 тыс.чел. Свободный член (а) в линейном тренде выражает начальный уровень ряда в момент (период времени) t = 0. В нашей нумерации t = 0 приходится на период времени между 1996 и 1997 гг., что несколько затрудняет его интерпретацию. В нашем случае а = 458,33 тыс.чел. – это средняя численность ППП за вторую половину 1996 и первую половину 1997 гг.

С помощью этого уравнения найдем выравненные уровни и рассчитаем стандартную ошибку уравнения регрессии S_yx.

.

Расчеты проведем в рабочей таблице 4.6:

Таблица 4.6.

	T
	-2,5	569,7	560,1762	9,5238	90,7029
	-1,5	516,4	519,4390	-3,0390	9,2358
	-0,5	472,0	478,7019	-6,7019	44,9155
	0,5	431,0	437,9648	-6,9648	48,5079
	1,5	395,8	397,2276	-1,4276	2,0381
	2,5	365,1	356,4905	8,6095	74,1239
Суммы					269,5242

Чем меньше стандартная ошибка, тем лучше подобрана модель тренда. Сравнение S_{yx ,} рассчитанных для различных моделей дает возможность выбрать лучшую из них.

Рассмотрим использование для аналитического выравнивания других (нелинейных) моделей.

Для определения параметров нелинейных уравнений регрессии необходимо привести их к линейному виду. Рассмотрим алгоритмы линеаризации некоторыхиз них.