С учетом составляющих (2) и (5) критерий (1) запишется в виде

. (6)

2.4. Обоснование корректности постановки задачи по оптимизации интенсивности использования ресурсов – параметра K_ру и определения его оптимального значения K_{ру opt}.

Из анализа критериальной функции Q(K_ру) следует, что параметр-аргумент K_ру находится по составляющим критерия в противоположных зависимостях (обратно или пропорциональной). Следовательно, критериальная функция (6) не является монотонной, имеет выраженный минимум (минимальное суммарное рассогласование), соответствующий ситуационно-наилучшей (оптимальной) интенсивности использования ресурсов предприятия [3] (см. рис. 3.41 п.3.2.6.2).

Таким образом, оптимизационная постановка задачи на ресурсное управление является корректной.

2.5. Определение оптимального значения интенсивности ресурсного управления K_{ру opt}.

Определим K_{ру opt} из условия минимума критерия (6) по критериальному уравнению

. (7)

Запишем критериальное уравнение (7) в явном виде, взяв частные производные по аргументу K_ру у каждого слагаемого, воспользовавшись правилом взятия производных «от дроби».

→ . (8)

Введем отношение цель/риск

.

Поделив обе части (8) на N_v, получим

. (9)

Умножив обе части (9) на K_r, имеем

. (10)

Запишем (10) в форме численного (графического) решения уравнения для определения K_{ру opt}

, (11)

где

0 < K_ру < 2, при K_r = 1, (12)

по условиям устойчивости [3] (см. выражение (7) п.3.2.3.2).

Изобразим на рисунках 1 и 2 вид решения (11) относительно K_{ру opt} с учетом условий (12), обозначив левую часть , правую - , K_r = 1.

f, φ K_{ру opt}

f₁ f₂ f₃ φ

q₁ q₂ q₃

2

1

0 K_o1 K_o2 K_o3 K_ру 0 q

K_o1= K_{ру opt1},

K_o2 = K_{ру opt2} ,

K_o3 = K_{ру opt3}

Рис.1 Рис.2

На рис.1 зависимость f(K_ру) параметризована по параметру q – отношению цель/риск (q₁ > q₂ >q₃).

Из рис.2 (построенного на основании рис.1) следует, что оптимальная интенсивность использования ресурсов, минимизирующая квадратичный критерий эффективности управления с учетом возмущающих факторов, монотонно возрастает с увеличением отношения цель/риск q.

Заметим, что постановка задачи по определению K_{ру opt} корректна при относительно малой интенсивности возмущений (рисков), т.е. при относительно больших значениях q > 1.

Рассмотрим аналитическое решение уравнения (10) относительно K_руopt с учетом условия (12)

, (13)

где примем

q > 1 (14)

и учтем, что 0 < K_ру < 2.