Дифференциал функции

Определение. Функция дифференцируема в точке , если её полное приращение в окрестности этой точки представимо в виде

,

где и - константы, не зависящие от , . Здесь

.

Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке у нее существуют частные производные, причем . Обратное, вообще говоря, неверно. В отличие от функций одной переменной, для функций многих переменных из существования в заданной точке первых частных производных не следует дифференцируемость функции по совокупности переменных.

Теорема (достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных). Если у функции частные производные , существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в этой точке.

В случае дифференцируемости функции главная линейная часть её полного приращения называется первым дифференциалом:

, . (1)

Пример 1. Найти для функции .

Решение. Находим частные производные

, .

В соответствии с формулой (1) запишем первый дифференциал:

.☻

Аналогично определяется первый дифференциал функции трех переменных: .

Пример 2. Найти для функции .

Решение. Вычислим

, , .

Первый дифференциал примет вид:

. ☻

Заменяя полное приращение функции ее дифференциалом , получим приближенную формулу с точностью до :

. (2)

Пример 3. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию . В качестве начальной точки возьмём . Тогда

.

Вычислим и подсчитаем производные в точке :

.

Запишем первый дифференциал в точке :

.

Теперь в соответствии с приближенной формулой (2) получаем

. ☻

Дифференциалы более высокого порядка от функции определяются по индукции: .

Для вычисления старших дифференциалов удобно пользоваться символической формулой

(3)

При эта формула принимает знакомый вид (1):

.

Если , то при использовании символической формулы (3) применяют бином Ньютона. Например, при получаем (с учетом равенства непрерывных смешанных производных)

.

Если , то

.

Аналогично определяются формулы для дифференциалов более высокого порядка от функции 3-х переменных :

Пример 4. Найти второй дифференциал для функции .

Решение. Записываем формулу для второго дифференциала

.

Остается подсчитать все производные второго порядка. Сначала находим первые производные: . Подсчитаем вторые производные:

.

Следовательно, . ☻