Формула Тейлора для функций двух переменных

Если функция имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные до ()-го порядка включительно, то в этой окрестности справедлива формула Тейлора

(1)

Для функции одной переменной имеем

и формула (1) принимает знакомый вид

Для функции двух переменных в формуле (1)

и т.д.,

то есть дифференциал -го порядка берется в точке .

Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид

,

Здесь производные берутся в некоторой средней точке :

, , , .

Остаточный член в форме Пеано (при более слабых предположениях).

, .

Пример 1. Для функции записать формулу Тейлора в окрестности точки .

Решение. Подсчитаем и частные производные:

Запишем первый дифференциал в точке :

.

Найдем вторые производные: , , .

Запишем второй дифференциал в точке :

.

Все производные порядка выше второго равны нулю. Формула Тейлора принимает вид . Фактически мы перегруппировали данный многочлен по степеням и . ☻

Пример 2. Записать формулу Тейлора -го порядка для функции в окрестности точки .

Решение. Находим и частные производные:

.

Запишем первый дифференциал в точке :

.

Подсчитаем вторые производные:

, , .

Теперь можем записать второй дифференциал в точке :

.

Продолжаем дифференцировать: . Все остальные производные 3-го порядка равны нулю: .

Значит, из третьего дифференциала в точке остается одно слагаемое:

.

Легко заметить, что дальнейшее дифференцирование по приводит к формуле . Значит, .

Формула Тейлора принимает вид:

,

где , . ☻

В частном случае при из (1) получаем формулу Маклорена.

Пример 3. Функцию разложить по формуле Маклорена до членов второго порядка.

Решение. Для формулы Маклорена следует записать разложение (1) в окрестности точки . Находим .

Для первого дифференциала находим

.

Так как , то .

Чтобы записать второй дифференциал, находим

.

Получаем .

Формула Маклорена для функции принимает вид

, . ☻