Ранговой корреляции Спирмена и Кендалла

Напомним, что при исследовании объектов генеральной совокупности, обладающих двумя качественными признаками:

A: x ₁, x ₂,..., x_n B: y ₁, y ₂,..., y_n

(x_i – порядковый номер объекта в последовательности убывания качества по признаку А, y_i – номер того же объекта в последовательности убывания качества по признаку В), для оценки степени связи между этими признаками можно вычислить выборочные коэффициенты ранговой корреляции Спирмена:

,

где d_i = x_i – y_i, n – объем выборки, или Кендалла:

где R = R ₁ + R ₂ +... + R_n, а R_i – количество чисел, больших y_i, стоящих справа от y_i в последовательности рангов по признаку В.

Для проверки при уровне значимости α нулевой гипотезы о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена (Н ₀: r_Г = 0) при конкурирующей гипотезе Н ₁: r_Г ≠ 0 нужно вычислить критическую точку:

,

где п – объем выборки, а t_кр (α, k) – критическая точка двусторонней критической области для распределения Стьюдента при числе степеней свободы k = n – 2. Если | ρ_B | < T_кр – нулевая гипотеза принимается (связь между качественными признаками незначима). При | ρ_B | > T_кр нулевая гипотеза отвергается, то есть между признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.

Аналогичным образом проверяется гипотеза Н ₀: τ_Г = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Кендалла при конкурирующей гипотезе Н ₁: τ_Г ≠ 0. Критическая точка вычисляется по формуле:

,

где z_кр – аргумент функции Лапласа, при котором (крити-ческая область двусторонняя).

Если | τ_B | < T_кр – нулевая гипотеза принимается (связь между качественными признаками незначима). При | τ_B | > T_кр нулевая гипотеза отвергается, то есть между признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.

Варианты курсовых заданий включают по 7 задач. В них требуется выполнить следующие действия:

Задача 1. По данным выборки выбрать гипотезу о виде закона распределе-ния и проверить ее, используя критерий Пирсона при уровне значимости α. В ответе привести:

1) выбранную гипотезу о виде закона распределения;

2) вычисленное значение критерия; 3) критическое значение;

4) вывод о принятии или не принятии гипотезы.

Задача 2. По двум выборкам нормальных законов распределения проверить гипотезу о равенстве дисперсий (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве) при уровне значимости 0.1. Определить:

1) дисперсию первой выборки; 2) дисперсию второй выборки;

3) вычисленное значение критерия; 4) теоретическое значение критерия;

5) вывод о принятии или не принятии гипотезы.

Задача 3. По данным двух выборок нормального закона распределения про-верить гипотезу о равенстве генеральных средних (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве) при уровне значимости α.

В ответе привести:

1) выборочное среднее для первой выборки;

2) выборочное среднее для второй выборки;

3) вычисленное значение критерия; 4) табличное значение;

5) вывод о принятии или не принятии гипотезы.

Задача 4. По данным двух выборок нормального закона распределения

(первая - с дисперсией S ₁², вторая - с дисперсией S ₂²) проверить гипотезу о равенстве средних значений при уровне значимости α (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве). В ответе привести:

1) выборочное среднее для первой выборки;

2) выборочное среднее для второй выборки;

3) вычисленное значение критерия; 4) критическое значение;

5) вывод о принятии или не принятии гипотезы.

Задача 5. При проведении n ₁ испытаний в первой серии число благоприят-ных исходов равнялось m ₁. Во второй серии из n ₂ испытаний число благо-приятных исходов равнялось m ₂. Проверить гипотезу о равенстве вероятнос-тей благоприятного исхода в двух сериях (при конкурирующей гипотезе об их неравенстве) при уровне значимости α. В ответе привести:

1) вычисленное значение критерия; 2) критическое значение;

3) вывод о принятии или не принятии гипотезы.

Задача 6. По данным выборки двумерной случайной величины

и уровню значимости α определить:

1) вектор математического ожидания; 2) вектор дисперсии;

3) выборочный коэффициент корреляции;

4) вычисленное значение критерия; 5) критическое значение;

6) результат проверки гипотезы о равенстве нулю генерального

коэффициента корреляции.

Задача 7. По данным двух выборок проверить гипотезы о значимости

выборочного рангового коэффициента Спирмена и Кендалла при уровне значимости α. В ответе привести:

1) выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена;

2) выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла;

3) критическую точку для коэффициента Спирмена ;

4) критическую точку для коэффициента Кендалла ;

5) вывод о принятии или не принятии каждой гипотезы.

Примечание 1.

Ответы на курсовые задания имеются у авторов данного методического пособия и могут быть предоставлены преподавателям, использующим его в работе со студентами.