Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений

Пусть известны результаты двух серий независимых испытаний: в первой серии проведено п ₁ опытов, и событие А появилось т ₁ раз; во второй серии из п ₂ опытов событие А появилось т ₂ раз. Обозначим неизвестную вероятность появления события А в одном опыте первой серии через р ₁, а во второй серии – через р ₂. Требуется проверить при уровне значимости α нулевую гипотезу о равенстве этих вероятностей: Н_о: р ₁ = р ₂.

В качестве критерия выбирается нормированная нормально распределенная случайная величина

.

Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле:

.

Построение критической области:

а) при конкурирующей гипотезе Н ₁: р ₁ ≠ р ₂ u_кр определяется из равенства , и двусторонняя критическая область задается неравенством | U | > u_кр.

б) при конкурирующей гипотезе Н ₁: р ₁ > р ₂ u_кр для правосторонней крити-ческой области находится из условия , и вид критической области: U > u_кр.

в) при конкурирующей гипотезе Н_о: р ₁ < р ₂ левосторонняя критическая область имеет вид U < – u_кр, где u_кр находится по формуле из пункта б).

Пример 8. В серии из 20 независимых испытаний событие А появилось 8 раз, в серии из 15 испытаний – 7 раз. При уровне значимости α = 0,05 проверяется

нулевая гипотеза Н_о: р ₁ = р ₂ при конкурирующей гипотезе Н_о: р ₁ < р ₂.

Решение.

Критическая область – левосторонняя, следова-

тельно, и_кр = 1,645, и критическая область имеет вид U < - 1,645. Вычислим и_набл = U_набл > – u_кр, следовательно, гипотеза принимается, и можно считать, что вероятность события А в обеих сериях испытаний одинакова.