Вычисление определенных интегралов численными методами

S

0 a bx

S

Рисунок 18 Определённый интеграл – площадь криволинейной трапеции

Однако на практике приведённой формулой часто нельзя воспользоваться по двум основным причинам:

1) вид функции f (x) не допускает непосредственного интегрирования, т. е. первообразную нельзя выразить в элементарных функциях;

2) значения функции f (x) заданы только на фиксированном конечном множестве точек x_i, т. е. функция задана в виде таблицы.

В этих случаях используются методы численного интегрирования. Они основаны на аппроксимации подынтегральной функции некоторыми более простыми выражениями, например, многочленами нулевой (у = с), первой
(у = сх + d) или второй (у = сx ² + dх + k) степени, а численные методы вычисления определенного интеграла, основанные на подобной аппроксимации, называются соответственно методами прямоугольников, трапеций и Симпсона (парабол).

Пусть требуется приближенно вычислить значение интеграла В методе прямоугольников (рисунок 19) криволинейная трапеция разбивается на п частей, каждая из которых представляет собой прямоугольник, основание которого равно шагу интегрирования , а длины сторон соответственно Y ₀ = f (x ₀), Y ₁ = f (x ₁), Y_n = f (x_n), где x ₀ = a, x ₁, …, x_n-1, x_n = b – точки деления отрезка [ a, b ] на n равных частей.

Различают методы правых, левых и средних прямоугольников, в зависимости от месторасположения начальной точки x ₀ при вычислении площади элементарного прямоугольника. При этом если за высоту каждого прямоугольника принимается левая ордината (y ₀, y ₁, y ₂…), то вычисление интеграла будет производиться по методу левых прямоугольников; если правая ордината (y ₁, y ₂, y ₃…), то по методу правых прямоугольников; если за высоту принимается середина интервала h, то будет применяться метод средних прямоугольников. Основанием всех прямоугольников будет являться величина шага интегрирования h.

у Уn¢ Уn     Sn         h Уn-1 У = f(x) У'2 У1 У2 У1¢ У0 S1 S2 h h 0 X0 = а X1 X2 Xn-1 Xn = b х Рисунок 19 К выводу формул вычисления определённых интегралов методами прямоугольников

Тогда при методе левых прямоугольников

,

при методе правых

,

при методе средних

.

Как видно из рисунка 19 первоначальное значение при методе левых прямоугольников , правых – , средних . Последующие значения будут получаться через операцию присваивание = + h, а элементарные площади S ₁, S ₂,… Sn будут вычисляться по формуле . Сумма этих площадей дает значение интеграла. Изложенное выше реализует алгоритм (рисунок 20), где - значения элементарных площадей, а их сумма S – значение интеграла.

5 8     6 9       Рисунок 20 Схема алгоритма вычисления интеграла методом прямоугольников

Более точное значение интеграла получается при вычислении его методом трапеций, когда ординаты (y ₀, y ₁, y ₂… y_n) подынтегральной функции соединяют отрезками прямых и искомую площадь заменяют суммой площадей трапеций, высотой которых является шаг h, а основаниями и для S ₁, и для S ₂ (рисунок 19).

Тогда

,

где , а y ₀, y ₁, y ₂ … y_n равны значениям функции при соответствующих значениях аргумента .

Поскольку , , …, то схема алгоритма примет вид, приведенный на рисунке 21. В приведенном алгоритме блок 5 вычисляет значение элементарных площадей S ₁, S ₂,… S_n, в блоке 6 осуществляется их суммирование и блоком 7 изменяется на величину шага h.

1                   Рисунок 21 Схема алгоритма вычисления интеграла методом трапеций

Программа вычисления методом трапеций, согласно приведённому алгоритму имеет вид.