INPUT A, B, E

Y1 = A*A*A - 3*A - 1

4 С = (A + B)/2

Y = С*С*С - 3*С - 1

IF ABS(Y) < E GOTO 10

IF Y*Y1< 0 THEN B = С ELSE A = С

GOTO 4

10 PRINT “корень=”; С

END

При уточнении корня методом итераций в уравнении неизвестное выражают через самого себя, т. е.. уравнение приводится к виду . Тогда рассмотренное выше уравнение преобразуем к виду .

Выберем произвольную точку х внутри отрезка [ а, b ], на котором находится корень уравнения, и подставим это значение в правую часть преобразованного уравнения, получив соответственно . Затем, приняв х равным полученному (), опять проведём вычисления нового x_n.

Этот процесс последовательного вычисления значений по формуле будет продолжаться до тех пор, пока разность между вычисленным и предыдущим х по модулю не станет меньше заданной точность е (). Рассмотренное выше нахождение корня реализуется следующим алгоритмом (рисунок 17).

Метод итераций применим только в том случае, если вычислительный процесс сходится (т. е. от итерации к итерации абсолютная разность будет уменьшаться. Для этого необходимо провести преобразования исходного уравнения к виду так, чтобы выполнялось условие для любого значения х, принадлежащего отрезку [ a, b ].

Для предотвращения зацикливания в случае расходящегося процесса в схему алгоритма блоком 2 вводится параметр m, обеспечивающий ограничение на максимальное число итераций. Количество итераций подсчитывается в блоке 5 и при превышении заданного числа m блок 7 прерывает процесс поиска корня. Уточнение корней методом касательных подробно рассмотрено в [4].

1           4 8         6 нет 7   нет да 10 да         Рисунок 17 Схема алгоритма уточнения корня методом итераций

Вопросы для самоконтроля

1 Из каких этапов состоит процесс решения нелинейных уравнений?

2 Чем характерна область, где находится корень уравнения?

3 Как в алгоритме и программе определяется область нахождения корня?

4 В чем сущность нахождения корня с необходимой точностью в заданной области?