Пояснение 2.3 Евклидовость пространства

Так, если заменить одиннадцатую аксиому альтернативным утверждением[45] и продолжать доказательства – получается геометрия Лобачевского. «Прямые» – такой геометрии, конечно, не есть прямые в полном смысле этого слова. Как отличаются их свойства от свойств прямых можно понять на таком примере: Возьмём две некоторые параллельные прямые (перпендикуляры к некоторой – как показано на рисунке)

И взяв на прямой (b) точку T, соединим её с точкой M прямой (n). Тогда поскольку параллельные (a и b) пересекаются некоторой (n), то ∠1 = ∠2.

Это можно также видеть и из следующего – поскольку прямые (a) и (b) отличаются от некоторой (прямой (c)) на одинаковый угол в одну сторону

то друг от друга они не отличаются ни на какой угол. Для обозначения углов между прямыми я нарисовал стрелки. (В данном случае углы прямые, но как видно из рисунка это справедливо и в общем случае)

Теперь поскольку прямая (n) отличается от прямой (a) на угол 1, а прямая (a) от прямой (b) не отличается ни на какой угол, то прямая (n) и от прямой (b) должна отличаться на тот же угол в ту же сторону, то есть ∠2 = ∠1.

То есть угол пересечения прямых определяется углом между ними как таковыми и обратно.

Выполним теперь такое же построение в геометрии Лобачевского.

Так как сумма углов всякого треугольника у Лобачевского меньше двух прямых углов (меньше π) (мы дальше докажем это) то значит углы 5 и 4 взятые вместе с углом 3 меньше,[46] чем они же взятые вместе с углом 1 (∠5 + ∠4 + ∠3 < ∠5 + ∠4 + ∠1)[47]. А значит и угол 3 меньше угла 1, и угол 2 меньше угла 1. [48] Значит ∠2 < ∠1

то есть в геометрии Лобачевского угол между линиями, как таковой отсутствует и есть лишь угол пересечения «линий». – в частности поэтому их можно назвать в некотором смысле кривыми линиями – по аналогии с тем, что между обычными кривыми линиями также не существует определённого угла.[49] Вообще же мне думается, что это некоторые абстрактные – непредставимые, но допускаемые нами объекты.[50] Изображения же их я думаю нужно понимать вот как: рисуя их, мы рисуем обычные – представимые объекты – линии, которые имеют ту же конфигурацию (например, в виде буквы Н, с прямыми углами в пересечениях, как на первом рисунке, где я рисовал линии Лобачевского), что и линии в непредставимом пространстве. Или, например, такую конфигурацию.

Эти рассуждения остаются неизменными и если бы мы выполнили построение не перпендикуляров, а просто линий (прямых или линий Лобачевского) под произвольными но равными углами к некоторой. (внешним и внутренним конечно.)