Пояснение 2.2 Линии Лобачевского

Линии геометрии Лобачевского или линии Лобачевского – так будем называть объекты, выполняющие в геометрии Лобачевского роль прямых. Для них выполняется, например, девятая аксиома[42] Евклида (а точнее аналогичное её утверждение), а также теоремы аналогичные всем теоремам Евклидовой геометрии, доказанным без обращения к одиннадцатой аксиоме. Далее я поясню, почему и какие их свойства отличаются от тех, которые мы мыслим в понятии прямой.

Надо заметить, что Н. И. Лобачевский иногда называет их прямыми, а иногда просто линиями[43], мы же будем их всегда называть линиями Лобачевского или обозначать – «линии», чтобы сохранить в понятии прямой исходный, интуитивно ясный смысл, связанный с пространственным представлением, и различением прямых и кривых линий.

Здесь я процитирую Андрея Юрьевича Грязнова: Если какой–нибудь математик скажет, что он может себе представить в созерцании неевклидово пространство, вряд ли это можно воспринимать буквально. Пример псевдосферы [44], на которой не справедлива геометрия Евклида, конечно, к данному вопросу не относится. Ведь на этой поверхности нет ни настоящих треугольников, ни настоящих прямых. А так называемые геодезические («прямейшие») – это, вообще говоря, кривые линии. И, разумеется, прямая не есть, по определению, кратчайшее расстояние между двумя точками. Прямую вообще нельзя определить, т.к. это не дискурсивное понятие, а чистое созерцание, в котором дается прямизна²⁸. Понятие расстояния (даже при его аксиоматическом задании) методологически предполагает представление о прямой, а аксиоматический метод опирается на все те же трансцендентальные формы, о которых говорит Кант²⁹. Примечание 28 Суждение прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками является, по Канту, априорно–синтетическим, т.к. количественный момент (кратчайшее расстояние) не может быть аналитически выведен из качественного (прямизна). Примечание 29 Несостоятельность тезиса о том, что сам факт существования неевклидовых геометрий опровергает кантовский априоризм, убедительно показывает В. Я. Перминов в статье «Неевклидовы геометрии и философия математики И. Канта» // История и методология естественных наук. Вып. XXV. М., 1980 Эта цитата и примечания взята из статьи А. Ю. Грязнова «Методология физики и априоризм Канта» Журнал ВОПРОСЫ ФИЛОСОФИИ №8, 2000.