Интегрирование по частям в неопределенном интеграле, вывод формулы интегрирования

Из формулы дифференциала произведения d(uv) = u dv + v du получается формула интегрирования по частям u dv = uv - u dv

Эта формула чаще всего применяется тогда, когда под интегралом имеется произведение алгебраической и трансцендентной функции, например x e dx или ln x dx. При этом за u принимается функция, которая дифференцированием упрощается, а за dv - та часть подынтергального выражения, содержащая dx, интеграл от которой известен или может быть найден.

Из трансцендентных функций за u обычно принимаются ln x, arctg x и arcsin x

Например, в интеграле ln x dx за u нужно принять ln x (а не x ), а в интеграле e dx за x нужно принять x (а не e )

Правильные и неправильные рациональные дроби, выделение целой части у неправильной дроби (целая рациональная функция, дробно-рациональная функция, правильные и неправильные дроби, выделение целой части у неправильной дроби).

1) Если подынтегральная дробь неправильная, то нужно исключить из нее целое выражение.

2) Знаменатель правильной дроби разлагается на множители вида

(x-a) и (x + px + q) , а правильная дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом:

Разложение правильной дроби на сумму простейших дробей, метод неопределенных коэффициентов (четыре основных вида простых дробей, три случая разложения правильных дробей на простейшие дроби, алгоритм метода неопределенных коэффициентов).

Разложение правильной дроби на сумму простейших дробей.

1) Если знаменатель содержит различные линейные множители, то дробь можно представить в виде:

2) Если среди линейных множителей знаменателя есть повторяющиеся, то дробь можно записать:

3) Если в знаменателе имеются квадратные трехчлены, не разлагающиеся на линейные множители, то дробь

представляется в виде: