Общая схема исследования функции

Функции нескольких переменных. Точка в n-мерном пространстве. Область определения, множество значений функции нескольких переменных. Линейная и квадратичная функция нескольких переменных. Линии уровня функции двух переменных.

Линейная функция n переменных имеет вид: x1, x2, …, xn

u = a1 x1 + a2 x2 + … + an xn,

где a1, …, an — фиксированные числа. Линейная функция u может быть записана в виде скалярного произведения u = (a,x), где a = a1, …, an и x = x1, …, xn — векторы евклидова пространства Rn (в ортонормированном базисе).

Предел и непрерывность функции двух переменных. Расстояние между точками. ε-окрестность точки. Определение предела. Определение непрерывности в точке. Точки разрыва. Алгебраические операции над непрерывными в точке функциями. Непрерывность сложной функции.

25. Частные производные функции двух переменных. Частные приращения по x и y, и полное приращение функции. Частные производные первого порядка по x и y, их геометрический смысл. Частные производные высших порядков. Смешанные производные, равенство смешанных производных при изменении порядка дифференцирования

Дифференциал функции двух переменных. Необходимые условия, достаточные условия существования дифференциала. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Дифференциал второго порядка для функции двух переменных.

Дифференциалом функции у=f(x) называется главная линейная относительно ∆х часть приращения функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy(или df(x)): dy=f’(x) ˑ∆x.

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx =  x. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде:

dy = f' (x) dx.

Выясним каков геометрический смысл дифференциала. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M (x,y) (рис21.). Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке M, которая образует угол  с положительным направлением оси OX, то есть f'(x) = tg . Из прямоугольного треугольника MKN

KN = MNtg  xtg  = f' (x) x,

то есть dy = KN.

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение  x.

Если функция у’ дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у’’=(y’)’(f’’(x)).