Тренировочный пример. Пусть производственная система характеризуется производственной функцией Кобба – Дугласа (5.1)

Пусть производственная система характеризуется производственной функцией Кобба – Дугласа (5.1). За период времени системой было произведено 100 единиц продукции при затратах 20 единиц труда и 40 единиц капитала. Известно, что = 0,75.

1. Записать производственную функцию Кобба – Дугласа.

2. Сколько единиц продукта будет произведено системой при затратах 25 единиц труда и 50 единиц капитала?

3. Определить для данной производственной системы средние продукты труда и капитала, используя формулы (5.2), (5.3) и (5.4).

4. Определить предельные продукты труда и капитала, используя формулы (5.5) и (5.6). Прокомментировать результаты расчётов.

5. Проверить вычислениями точность равенства (5.10).

Решение.

1. Подставим в (5.1) исходные данные: 100 = С*40^0.75*20^0.25. После вычислений получим: 100 = С*33,64 или С = 100/33,64 = 2,973. Окончательно имеем: Y = 2,973 K^0,75L^0,25.

2. Подставим в полученное выражение для производственной функции новые данные: Y = 2,973*50^0,75*25^0,25 = 125. Таким образом, системой при новых данных будет произведено 125 единиц продукта.

3. Подсчитаем средние продукты факторов, используя формулы (5.2), (5.3) и (5.4). Из (5.2) следует, что Ay_k = 100/40 = 2,5. Из (5.3) следует Ay_k = 2,973* (20/40)^0,25 = 2,5.

Из левого выражения (5.4) следует, что Ay_l = 100/20 = 5. Правая часть этого выражения даёт: Ay_l = 2,973*(40/20)^0,75 = 5.

Как видим, проверяемые равенства выполняются точно, если при вычислениях не производить округления.

4. Рассчитаем предельный продукт капитала: Мy_k = C (L/K)^1- = 0,75*2,973*(20/40)^0,25 = 1,875. Получили, что действительно, Мy_k = Ay_k (Мy_k = 0,75*2,5 = 1,875).

Аналогично предельный продукт труда. Мy_l = (1– ) C (K/L) = 0,25*2,973*2^0,75 = 1,25 или Мy_l =(1- ) Ay_l = 0,25*5 = 1,25.

Сравнивая средние и предельные продукты факторов, видим, что действительно, предельные продукты меньше средних, подтверждая тем самым закон убывающей эффективности факторов.

Средний продукт капитала, равный 2,5 означает, что в исследуемой экономической системе на единицу основных фондов приходится в среднем 2,5 единиц выпускаемого продукта, а предельный продукт капитала, равный 1,875, означает, что в исследуемой экономической системе на единицу прироста основных фондов приходится в среднем 1,875 единиц прироста выпуска продукта. Аналогично и по продукту труда.

5. Пусть левая часть выражения (5.10) – это выпуск продукта, подсчитанный в п. 2. Тогда K = 10, а L = 5. Подсчитаем правую часть выражения (5.10).

Y + (Y/K) K + (1- ) (Y/L) L = 100 + 0,75*(100/40)*10 + 0,25* (100/20)*5 = 125. Как видим, равенство выполнено точно.