Задания для выполнения контрольной работы. При формировании варианта своего задания необходимо иметь в виду, что показатели межотраслевых потоков продукции в отчётном балансе

При формировании варианта своего задания необходимо иметь в виду, что показатели межотраслевых потоков продукции в отчётном балансе, численность занятых в отраслях и объёмы основных производственных фондов одинаковы для всех вариантов и совпадают с данными в рассмотренном примере. Для разных вариантов меняются лишь векторы конечных продуктов. Для конкретных вариантов они следующие.

316,3	287,50	287,50	287,50	287,50	316,25	347,88	347,88	287,50	316,25
306,3	306,34	336,97	336,97	336,97	306,34	278,49	306,34	278,49	306,34
527,5	527,47	479,52	479,52	479,52	527,47	580,22	580,22	580,22	527,47
159,2	159,19	159,19	175,11	175,11	175,11	144,72	144,72	175,11	144,72
1172,4	1172,40	1172,40	1065,82	1172,40	1065,82	1289,64	1172,40	1172,40	1289,64

Остальные показатели и нормативы необходимо взять из текста задания в п. 1.4.

Ниже приведены матрицы В для каждого варианта.

Вариант 1 Вариант 2

1,051	0,264	0,046	0,028	0,030	1,054	0,265	0,046	0,028	0,031
0,064	1,396	0,227	0,135	0,103	0,069	1,397	0,228	0,135	0,103
0,025	0,106	1,142	0,304	0,091	0,027	0,107	1,142	0,304	0,091
0,024	0,105	0,095	1,187	0,096	0,025	0,106	0,095	1,187	0,096
0,047	0,270	0,209	0,287	1,243	0,050	0,270	0,209	0,287	1,243

Вариант 3 Вариант 4

1,053	0,250	0,047	0,028	0,030	1,053	0,251	0,047	0,027	0,032
0,068	1,376	0,240	0,137	0,103	0,068	1,377	0,241	0,133	0,111
0,027	0,102	1,151	0,306	0,091	0,027	0,102	1,151	0,294	0,097
0,025	0,100	0,101	1,188	0,096	0,025	0,101	0,102	1,181	0,103
0,050	0,256	0,222	0,290	1,243	0,050	0,259	0,224	0,281	1,263

Вариант 5 Вариант 6

1,053	0,250	0,047	0,026	0,030	1,041	0,298	0,039	0,030	0,023
0,068	1,376	0,240	0,131	0,102	0,051	1,441	0,179	0,136	0,075
0,027	0,101	1,150	0,292	0,090	0,020	0,115	1,110	0,332	0,067
0,025	0,100	0,101	1,179	0,095	0,018	0,113	0,073	1,201	0,070
0,049	0,255	0,221	0,276	1,242	0,036	0,289	0,159	0,299	1,177

Вариант 7 Вариант 8

1,039	0,317	0,039	0,034	0,022	1,036	0,340	0,038	0,040	0,023
0,049	1,467	0,172	0,149	0,069	0,046	1,503	0,161	0,167	0,070
0,019	0,124	1,106	0,367	0,062	0,018	0,137	1,099	0,413	0,064
0,018	0,121	0,070	1,221	0,064	0,017	0,132	0,066	1,249	0,065
0,034	0,305	0,152	0,327	1,161	0,032	0,331	0,142	0,367	1,163

Вариант 9 Вариант 10

1,041	0,367	0,041	0,038	0,024	1,038	0,341	0,040	0,040	0,022
0,051	1,541	0,164	0,151	0,071	0,048	1,504	0,169	0,169	0,067
0,020	0,143	1,098	0,366	0,062	0,019	0,137	1,104	0,414	0,061
0,018	0,139	0,066	1,221	0,064	0,017	0,131	0,069	1,249	0,062
0,036	0,353	0,143	0,327	1,162	0,034	0,330	0,148	0,367	1,155

Задание 2. Определение оптимального плана выпуска продукции и анализ оптимального решения с использованием двойственных оценок

Краткие теоретические сведения

Пусть в производстве n видов продукции используется m видов ресурсов. Известны величины , характеризующие расход каждого вида ресурсов на производство единицы каждого вида продукции (), c_j – цена реализации 1 ед. -й продукции, -запасы ресурсов. Требуется найти – оптимальный план производства каждого вида продукции, при котором расходы ресурсов не превышали бы имеющихся запасов (b_i), а общий доход при реализации всей продукции (z) был бы максимальным.

Математическая модель задачи имеет вид

(2.1)

(2.2)

(2.3)

Двойственная задача к рассмотренной следующая.

Найти – оценки единицы каждого вида ресурсов, минимизирующие суммарную оценку ресурсов при условии, что оценка ресурсов, необходимых для производства единицы каждого вида продукции, была бы не меньше цены единицы соответствующей продукции.

Математическая модель двойственной задачи:

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Условия (2.1) и (2.5), а также (2.2) и (2.4) называются сопряжёнными.

Сформулируем необходимые для дальнейшего теоремы.

Теорема 1. Если исходная задача имеет конечное оптимальное решение х^*, то и двойственная к ней задача также имеет конечное оптимальное решение у^*, при этом , (2.7)

(здесь звёздочка означает, что значения переменных берутся из оптимальных решений исходной и двойственной задач).

Теорема 2. В оптимальном решении для каждой пары сопряжённых условий выполняются следующие соотношения: если одно из них выполняется как строгое равенство, то другое – как строгое неравенство и наоборот, т.е.

если то (2.8)

если то (2.9)

если то (2.10)

если то (2.11)

Основываясь на сформулированных теоремах (для невырожденных и единственных решений), можно дать следующую экономическую интерпретацию переменным двойственной задачи y_i, которые будем называть двойственными оценками.

1. Оценка (y_i^*) i-го ресурса показывает, на сколько изменится оптимальное значение целевой функции z_max исходной задачи (доход от реализации продукции), если объём соответствующего ресурса изменить на единицу. Если же объём i-го ресурса изменить на k единиц, то целевая функция изменится на величину () в случае, если это изменение не выйдет за границы устойчивости двойственных оценок.

2. Если ресурс в оптимальном плане израсходован полностью, то его оценка положительна (см. 2.8), если же ресурс не полностью израсходован в оптимальном плане, то его оценка равна нулю (см. 2.9). В первом случае ресурс будем называть дефицитным, во втором недефицитным. Для недефицитного ресурса значение соответствующей балансовой переменной в оптимальном решении покажет его остаток после выполнения оптимального плана. Чем больше оценка ресурса, тем он дефицитнее с точки зрения его вклада в целевую функцию.

3. В оптимальный план включается производство только тех видов продукции, оценка ресурсов на производство единицы которых совпадает с ценой (см. 2.10) и продукция не выпускается в оптимальном плане, если аналогичная оценка превышает цену (см. 2.11). В первом случае продукцию будем называть рентабельной, во втором нерентабельной.

4. В оптимальном плане результаты производства совпадают с оценкой затрат на производство (см. 2.7).