Неделя 10. Практика 5.11.2014 прямая в 3-мерном пространстве, кривые

Задача 1. Найти угол между двумя плоскостями и .

Номали и . Скал. произведение 2. Модули и . Ответ .

Задача 2. Найти угол между прямой и плоскостью

Направляющий нормаль плоскости . Скал. произв. 9. Модули и .

Угол

Задача 3. Построить уравнение прямой в пространстве (каноническое, параметрическое, уметь строить оба вида и переводить один в другой) по точке (2,-3,4) и направляющему (1,2,3).

или

Задача 4. Найти параметрические и канонические уравнения прямой, перпендикулярной к плоскости треугольника с вершинами А(0,-2,3), В(3,1,3), С (-3,-1,0).

Реш. Направляющие АВ и АС это (3,3,0) и (-3,1,-3). Векторное произведение (-9,9,12).

Направляющий для прямой можно взять тогда (-3,3,4).

Канон , параметрические:

Задача 5. Построить уравнение прямой, лежащей в пересечении двух плоскостей.

и .

Векторное произведение нормалей здесь (-4, 19,13). Чтобы взять произвольную точку из пересечения, можно положить z = 0 и решить систему, вычислив x, y. Получим (0,-2,0).

Отв. или

Задача 6. Доказать, что прямая пересекает ось Оz и найти точку пересечения. Отв. (0,0,1).

Задача 7. (12.22) Доказать, что две прямые в пространстве и

пересекаются и найти точку пересечения.

Нужно решить систему, положив в первых равенствах t₁ а во вторых t₂. Получим, при каких

t₁ и t₂ достигается одна и та же точка. Затем подставить t₁ в первые уравнения либо t₂ во вторые, получим одни и те же значения для x,y,z Ответ (3,7,-6).

Задача 8. (12.34) Вычислить расстояние от точки (2,3,-1) до прямой в пространстве. ответ 21.

Задача 9. (12.35) Вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми.

и Ответ 13.