Приклад 1. 3 страница

Завдання 9

Фірма займається складанням дієти, що містить принаймні 20 одиниць білків, 30 одиниць вуглеводів, 10 одиниць жирів і 40 одиниць вітамінів. Як дешевше всього досягти цього при зазначених цінах (у гривнях) на 1 кг (або 1 л) п'яти наявних продуктів?

	Хліб	Соя	Сушена риба	Фрукти	Молоко
Білки
Вуглеводи
Жири
Вітаміни
Ціна

Скласти економіко-математичну модель і вирішити задачу.

Завдання 10

Фірма виготовляє два продукти А и В, ринок збуту яких необмежений. Кожний продукт повинен бути оброблений кожною машиною I, II, III. Час обробки в годинниках для кожного з продуктів А и В наведено нижче.

	I	II	III
А	0.5	0.4	0.2
В	0.25	0.3	0.4

Час роботи машин I, II, III відповідно 40, 36 і 36 годин на тиждень. Прибуток від виробів А и В становить відповідно 5 і 3 долари. Фірмі треба визначити тижневі норми випуску виробів А и В, які надають максимум прибутку. Скласти економіко-математичну модель і вирішити задачу.

Завдання 11

Проводиться дослідження попиту на деякий новий вид товару, який виводиться на ринок. Пробні продажі показали наступні дані про залежність денного попиту від ціни:

Ціна, грн.
Попит, од. товару

Вибравши емпіричну формулу як пряму, визначити її параметри методом найменших квадратів і визначити попит при ціні 15 грн. за од. товару.

Завдання 12

Проведення рекламної компанії підприємство використовувало 4 джерела масової інформації:

Телебачення;

Радіо;

Газета;

Розклеювання об’яв.

Аналіз рекламної діяльності в попередньому періоді показав, що ці засоби доводять до збільшення прибутку відповідно на 10, 5,7 і 4 у.о. в розрахунку на 1 у.о. витрат на рекламу. Бюджет реклами заплановано в розмірі 500 00 у.о. Адміністрація не має наміру витрачати на телебачення більш 40%, радіо і газети більш 50%.

Як запланувати рекламну компанію, щоб одержати максимальний прибуток? Скласти економіко-математичну модель і вирішити задачу.

Завдання 13

Проводиться дослідження попиту на деякий новий вид товару, який виводиться на ринок. Пробні продажі показали наступні дані про залежність денного попиту від ціни:

Ціна, грн.
Попит, од. товару

Вибравши емпіричну формулу модель залежності попиту від ціни у вигляді: визначити параметри зазначеної формули методом найменших квадратів і визначити попит при ціні 15 грн. за од. товару.

Завдання 14

Проводиться дослідження попиту на деякий новий вид товару, який виводиться на ринок. Пробні продажі показали наступні дані про залежність денного попиту від ціни:

Ціна, грн.
Попит, од. товару

Емпірична формула як модель залежності попиту від ціни визначена лінійною функцією. З урахуванням параметрів, які розраховані за методом найменших квадратів, ця функція має вигляд: Y=134,5-4,65x.

Визначити середньо квадратичну помилку по формулі:

Завдання 15

Проводиться дослідження попиту на деякий новий вид товару, який виводиться на ринок. Пробні продажі показали наступні дані про залежність денного попиту від ціни:

Ціна, грн.
Попит, од. товару

Як емпіричні формули були обрані дві різні моделі залежності попиту від ціни. З урахуванням параметрів, які розраховані за методом найменших квадратів, ці функції мають вигляд:

Y=134,5-4,65x

та

Визначити середньо квадратичну помилку по формулі:

і порівняти точність цих моделей.

Завдання 16

Підприємство, що складається з багатьох філій, досліджує залежність свого річного товарообігу y (млн у о.) від торгової площі своїх філій x1 (тис. кв. м) і середньоденної інтенсивності потоку покупців x2 (тис. чол./день). Просторові дані за філіями наведено в табл. 3.1.

Для відображення залежності між цими показниками обирають лінійну регресійну модель Y=a0 + a1x1 + a2x2. Потрібно знайти параметри а0, а1, а2 моделі.

Завдання 17

За період з 2000 по 2010 рік включно спостерігалося зростання ВВП Індії. За статистичними даними з таблиці розрахувати параметри і побудувати лінійну регресію динаміки зростання ВВП

№	Рік	ВВП (млн.дол.США)
		1 890 140
		1 999 768
		2 075 759
		2 252 199
		2 421 113
		2 650 800
		2 908 198
		3 176 474
		3 389 832
		3 642 017
		3 933 378

Завдання 18

Підприємство імпортує кондиціонери й обігрівачі. Загальні витрати
на закупівлю, сплату митного збору та транспортування у розрахунку на 1 умов. од. продукції складають: по кондиціонерах - 900 грн.; а по
обігрівачах - 130 грн.

За даними маркетингової служби встановлено, що у вересні - жовтні можна реалізувати протягом двох місяців в умовах теплої погоди 4100 кондиціонерів і 1600 обігрівачів; в умовах холодної погоди - 1500 кондиціонерів і 3800 обігрівачів.

Визначити стратегію фірми по підготовці контракту на закупівлі товару, що забезпечує максимальний доход підприємству, якщо кондиціонери продаються в середньому за ціною 2500 грн., а обігрівачі - за ціною 300 грн. за критерієм Лапласа.

Завдання 19

За період з 2000 по 2010 рік включно спостерігалося зростання ВВП Китаю. За статистичними даними з таблиці розрахувати параметри і побудувати лінійну регресію динаміки зростання ВВП Китаю.

№	Рік	ВВП (млн.дол.США)
		3 343 168
		3 700 337
		4 159 495
		4 789 499
		5 273 238
		5 821 655
		6 560 564
		7 491 593
		8 210 400
		8 965 757
		9 862 333

Завдання 20

Привести до канонічного виду задачу лінійного програмування. Задача має вигляд:

Знайти F(x) = 3х₁ + 3х₂ + 4х₃® min

при обмеженнях:

ì 4х₁ + х₂ + 3х₃ ≥ 14,

í 2х₁ + х₂ + х₃ ≥ 10,

ï 2х₁ + 2х₂ + 2х₃ ≥ 14

î х₁ + 3х₂ + х₃ ≥ 10

х₁ ³ 0 х₂ ³ 0 х₃ ³ 0

Завдання 21

Привести до канонічного виду задачу лінійного програмування. Задача має вигляд:

Знайти F(x) = х₁ + 2х₂ ® max

при обмеженнях:

ì x₁ - x₂ £ 3

ï 2x₁ - x₂ + 2 ³ 0

í x₁ + 3x₂ £ 14

ï x₂ £ 4

î x₁ £ 5

x_j ³ 0 (j = 1, 2)

Завдання 22

Привести до канонічного виду задачу лінійного програмування. Задача має вигляд:

Знайти F(x) = x₁ + x₂ ® max

при обмеженнях:

ì x₁ + 2x₂ - 4 ³ 0

ï 2x₁ + x₂ - 4 ³ 0

í x₁ - x₂ + 4 ³ 0

ï x₁ + 6x₂ - 6 £ 0

î x₁ £ 5

x_j ³ 0 (j = 1, 2)

Завдання 23

Визначите, як зміниться значення функції

якщо і якщо витрати обох ресурсів одночасно зменшити в 4 рази;

Завдання 24

Визначите, як зміниться значення виробничої функції

якщо і L збільшити на 3 одиниці;

Завдання 25

Нехай у довгостроковому плані крім тенденції росту економіка виявляє наявність хвиль підйому й спаду кон'юнктури. Будемо вважати, що при цьому інвестиції кратні приросту валового випуску: I_t = n (Y_t-1 – Y _t-2), де коефіцієнт n > 0 - фактор акселерації. Споживання задається лінійною функцією від випуску з тимчасовим лагом тривалістю в 1 період (рік): C_t = aY _t-1 + b, де 0 < a < 1, b > 0. Виходячи з умови бюджетного балансу та рівноваги попиту та пропозиції (Y_t = C_t +I_t), побудуйте рівняння динаміки національного доходу й визначите його значення через 8 років, якщо a = 0.75, b = 20, n = 1.05, у першому році Y₀ = 50, у другому році Y₁ = 55. Розрахуйте значення Y₂, Y₃, Y₄, Y₅, Y₆, Y₇.

Завдання 26

Нехай у довгостроковому плані крім тенденції росту економіка виявляє наявність хвиль підйому й спаду кон'юнктури. Будемо вважати, що при цьому інвестиції кратні приросту валового випуску: I_t = n (Y_t-1 – Y _t-2), де коефіцієнт n > 0 - фактор акселерації. Споживання задається лінійною функцією від випуску з тимчасовим лагом тривалістю в 1 період (рік): C_t = aY _t-1 + b, де 0 < a < 1, b > 0. Виходячи з умови бюджетного балансу та рівноваги попиту та пропозиції (Y_t = C_t +I_t), побудуйте рівняння динаміки національного доходу й визначите його значення через 8 років, якщо a = 0.85, b = 30, n = 1.05, у першому році Y₀ = 50, у другому році Y₁ = 60. Розрахуйте значення Y₂, Y₃, Y₄, Y₅, Y₆, Y₇.

Завдання 27

Нехай у довгостроковому плані крім тенденції росту економіка виявляє наявність хвиль підйому й спаду кон'юнктури. Будемо вважати, що при цьому інвестиції кратні приросту валового випуску: I_t = n (Y_t-1 – Y _t-2), де коефіцієнт n > 0 - фактор акселерації. Споживання задається лінійною функцією від випуску з тимчасовим лагом тривалістю в 1 період (рік): C_t = aY _t-1 + b, де 0 < a < 1, b > 0. Виходячи з умови бюджетного балансу та рівноваги попиту та пропозиції (Y_t = C_t +I_t), побудуйте рівняння динаміки національного доходу й визначите його значення через 8 років, якщо a = 0.65, b = 20, n = 1.25, у першому році Y₀ = 40, у другому році Y₁ = 50. Розрахуйте значення Y₂, Y₃, Y₄, Y₅, Y₆, Y₇.

Завдання 28

Судова компанія планує організацію перевезень пасажирів у літку. Кількість лайнерів, які треба зафрахтувати, а також кількість екіпажів, які треба підготувати до навігації визначається фактичною потребою в перевезеннях. Припустимо, що вона може мати значення 10, 20, 30, 40 та 50 лайнерів. Фактична потреба являється випадковою величиною. Судова компанія склала кошторис експлуатаційних витрат і визначила розмір очікуваного доходу від виконання плану перевезень в залежності від кількості зафрахтованих лайнерів x_i і фактичною потребою S_k. Розрахунки наведені в таблиці.

Sk xi
	-48
	-100	-50
	-150	-100

Визначити оптимальну стратегію судової компанії за критерієм Вальда.

Завдання 29

Судова компанія планує організацію перевезень пасажирів у літку. Кількість лайнерів, які треба зафрахтувати, а також кількість екіпажів, які треба підготувати до навігації визначається фактичною потребою в перевезеннях. Припустимо, що вона може мати значення 10, 20, 30, 40 та 50 лайнерів. Фактична потреба являється випадковою величиною. Судова компанія склала кошторис експлуатаційних витрат і визначила розмір очікуваного доходу від виконання плану перевезень в залежності від кількості зафрахтованих лайнерів x_i і фактичною потребою S_k. Розрахунки наведені в таблиці.

Sk xi
	-48
	-100	-50
	-150	-100

Визначити оптимальну стратегію судової компанії за критерієм Лапласа.

Завдання 30

Будівельна фірма "Fort" отримала замовлення на будівництво туристичного мотелю поблизу від автотраси. При проектуванні об'єкту виникла складна проблема щодо визначення кількості номерів, які треба обладнати в мотелі 20, 30, 40 або 50, щоб задовольнити потребі тих, хто зупинився для відпочинку. Для її розв'язання був складений кошторис необхідних витрат. Залежно від прийнятого рішення – кількості побудованих номерів у мотелі Х= 20, 30, 40, 50 та кількості номерів, які можливо будуть зайнятими S = 0, 10, 20, 30, 40, 50, що залежить від множини випадкових факторів, невідомих фірмі в момент прийняття рішення щодо будівництва, було отримано таблицю можливих щорічних прибутків.

Усього номерів X	Кількість замовлень на зайняття номерів S
S1= 0	S2= 10	S3= 20	S4= 30	S5= 40	S6= 50
X1= 20	C11	C12	C13	C14	C15	C16
X2= 30	C21	C22	C23	C24	C25	C26
X3= 40	C31	C32	C33	C34	C35	C36
X4= 50	C41	C42	C43	C44	C45	C46

Треба обґрунтувати стратегію щодо вибору варіанта будівництва мотелю, яка у порівнянні з іншими буде найбільш вигідною (оптимальною).

Елементи Сij, що характеризують прибуток від прийняття рішення Хі в разі настання ситуації Sj, для кожного варіанта, порядок спадання правдоподібності виникнення ситуацій та різні значення коефіцієнта оптимізму kt наведені в табл.2.2.

Завдання 31

Процес виробництва описується за допомогою виробничої функції випуску

як варто змінити витрати K, щоб компенсувати зменшення L на 50%? (Рівень випуску при цьому зберігається.)

Завдання 32

Директор фірми вирішує відкрити представництво з продажу імпортної побутової техніки в обласному центрі. Він має 5 альтернатив A: створити власну крамницю, організувати співпрацю з торговими центрами, орендувати площу, організувати продаж через Інтернет, тощо. Експерти визначають 4 можливих варіанта розвитку ситуації S. Прибуток фірми для кожної альтернативи при кожної ситуації представлено матрицею доходів (млн.грн./ рік).

	S1	S2	S3	S4
A1
A2
A3
A4
A5

Обрати альтернативу за критерієм Гурвиця при a=0,3

Завдання 33

За результатами дослідження залежності (Y) тривалості життя у країнах Африці: Алжир, Ангола, Генин, Ботсвана, Бурунді, Буркина Фасо, Габон, Гамбія, Гана від (X1) чисельності медичних робітників на 10 тис. населення (осіб) та (X2) частки неписьменних (%) було отримано статистичні дані, які наведені в таблиці.

№	Y	X1	X2
	63.00	32.70	55.30
	44.50	12.70	97.00
	46.00	7.50	75.20
	56.50	35.80	59.30
	48.50	3.80	77.40
	47.20	8.10	91.20
	51.00	22.30	87.60
	37.00	15.10	85.20
	54.00	37.60	69.80
	42.20	4.20	80.00

Проаналізувати наведені данні і визначити коефіцієнт кореляції між Y і X1.

Завдання 34

Побудувати двоїсту задачу до ЗЛП.

Завдання 35

Побудувати двоїсту задачу до ЗЛП.

Завдання 36

Побудувати двоїсту задачу до ЗЛП.

Завдання 37

Перевірити баланс. При необхідності привести до збалансованого вигляду за рахунок штучного введення постачальника a_i, або споживача b_j з вартістю виконання перевезень 10. Знайти первісний опорний план транспортної задачі за правилом „північно-західного кута”, та методом мінімального елементу. Розрахувати і порівняти результати. Розв’язати транспортну задачу за методом потенціалів.

	bj ai	120	75	145	65			bj ai	50	110	145	85
	115	1	8	2	1			165	3	2	4	1
	85	3	7	6	2			75	7	3	1	5
	80	5	3	5	4			130	6	2	5	4
	55	4	3	1	6
	70	5	7	8	2

Завдання 38

Перевірити баланс. При необхідності привести до збалансованого вигляду за рахунок штучного введення постачальника a_i, або споживача b_j з вартістю виконання перевезень 10. Знайти первісний опорний план транспортної задачі за правилом „північно-західного кута”, та методом мінімального елементу. Розрахувати і порівняти результати. Розв’язати транспортну задачу за методом потенціалів.

	bj ai	120	60	145	70			bj ai	80	140	65	30
	50	1	3	8	5			90	2	4	1	3
	90	4	1	2	7			130	1	6	5	4
	75	6	5	3	2			155	3	7	9	5
	80	3	4	8	1
	100	6	5	7	2

Завдання 39

Перевірити баланс. При необхідності привести до збалансованого вигляду за рахунок штучного введення постачальника a_i, або споживача b_j з вартістю виконання перевезень 10. Знайти первісний опорний план транспортної задачі за правилом „північно-західного кута”, та методом мінімального елементу. Розрахувати і порівняти результати. Розв’язати транспортну задачу за методом потенціалів.