 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Приклад 1. 1 страница
|
|
Судова компанія планує організацію перевезень туристів на літній сезон. Кількість лайнерів, які треба зафрактувати, а також кількість екіпажів, з якими треба заключити контракт і підготувати до наступної весняно-літньої навігації, є величини змінні, які визначаються фактичною потребою в пасажироперевезеннях в даний сезон. Положемо, що воно може мати значення 10, 20, 30, 40 і 50 суден. Фактична потреба у пасажироперевезенях є випадковою величиною, яка залежить від багатьох невідоміх факторів. Судова компанія склала смету експлуатаційних витрат і визначила розмір доходів від виконання плана перевезень в залежності від кілкості зафрахтованих параходів xi та фактичної потреби в перевезеннях для повного задоволення потреб пасажирів у перевезеннях S. Розраховані значення очикуємого доходу для усіх можливих значень xi та Sk наведені в таблиці 1.12.2.
Таблиця 1.12.2. Значення очикуємого доходу
| Sk xi | Потреба в судах для забезпечення перевезень | |||||
| Зафрахтовано суден | ||||||
| -48 | ||||||
| -100 | -50 | |||||
| -150 | -100 |
Треба визначити оптимальну кількість параходів xopt, які треба зафрактувати для одержання максимального доходу.
Відповідно до критерію Вальда оптимальна кількість параходів дорівнює 
xopt = x1 = 10.
Відповідно до критерію Лапласа оптимальна кількість параходів буде визначатися наступним чином:
xopt = x4 = 40.
Відповідно до критерію Гурвиця оптимальне рішення визначається на підставі умови:
.
Побудуємо таблицю очикуємих прибутків за критерієм Гурвіця (Табл..1.12.3). Значення в таблиці розраховуються за правилом:
.
Таблиця 1.12.3. Значення очикуємих прибутків за критерієм Гурвіця
| a xi | Значення a (0 £ a £ 1) | |||||
| 0,1 | 0,2 | 0,5 | 0,8 | 0,9 | ||
| Зафрахтовано суден | ||||||
| -27,2 | -6,4 | 118,4 | 139,2 | |||
| -66,1 | -32 | |||||
| -101 | -52 |
Тоді оптимальна кількість параходів в залежності від a має натупні значення (Табл. 1.12.4)
Таблиця 1.12.4 оптимальна кількість параходів в залежності від a.
| a | 0,1 | 0,2 | 0,5 | 0,8 | 0,9 |
| xopt |
Для визначення оптимальної кількості за критерієм Севіджа будується матриця жалів (Табл.1.12.5)
Таблиця 1.12.5. Матриця жалів
| Sk xi | Потреба в судах для забезпечення перевезень | |||||
| Зафрахтовано суден | -50 | -140 | -180 | -280 | ||
| -50 | -90 | -130 | -230 | |||
| -108 | -80 | -40 | -80 | -80 | ||
| -160 | -160 | -100 | ||||
| -210 | -210 | -150 | -40 |
Розраховуваємо: 
, звідки xopt = 30
Таким чином, треба зробити вибір між наступними рішеннями:
За критерієм Вальда треба зафрактувати 10 параходів;
За критерієм Гурвіця – 10 параходів, якщо керівництво компанії має песимістичні погляди або 50 – якщо оптимістичні;
За критерієм Севіджа варто зафрактовати 30 параходів.
Вибір рішення залежить від обраного критерію в умовах невизначеністі.
3. Побудова імпірічної моделі
Побудова емпіричних формул найбільш складний і відповідальний процесс створення економіко-математичної моделі. При обробці експериментальних даних виникає необхідність представляти їх у вигляді деякої наближеної залежності типу y = f(x). Задача формулюється наступним чином. Хай в результаті вимірювань отримана таблиця даних.
| x0 | x1 | x2 | … | xn |
| y0 | y1 | y2 | yn |
Необхідно побудувати функцію y = f(x), яка наближено відбіває наведену залежність. Ця залежність називається емпырычною формулою. Якщо характер залежності не відомий, то вид емпіричної формули може бути довільним. У цьому випадку перевага віддається найбільш простим формулам, які мають достатньо точну відповідність. Їх початковий вигляд можна обрати виходячі з геометричних міркувань.
Визначення параметрів емпіричної формули за методом найменших квадратів. Цей метод знаходить саме широке застосування на практиці і забезпечує достатньу точність. Суть методу міститься в тому, що надбані емпіричні значення змінних вже визначені за підсумками досліджень, тому, якщо відома функція залежності, складаються рівняння, які дозволяють знайти параметри.
Запишемо суму квадратів відхілень для усіх точок x0, x1, x2, …, xn:
Парметри емпіричної формули a0, a1, …, am, будемо знаходити з умов мінімума функції S=S(a0, a1, …, am). У цьому ви падку параметри a0, a1, …, am виконують роль незалежних змінних функції S, тому її мінімум можна знайти, якщо дорівняти нулю частки похідні по цім зміним:
Отримані співвідношення – є система рівнянь для визначення a0, a1, …, am.
Приклад 1. За підсумками дослідження було запропоновано визначити залежність між аргументами і функцією спостережень у вигляді емпіричної функції багаточлена:
За результатами вимірювань отримана таблиця значень.
| x0 | x1 | x2 | … | xn |
| y0 | y1 | y2 | yn |
За методом найменших квадратів відхілення визначаються функцією:
.
Знаходимо похідні по зміннім a0, a1, …, am, яки треба знайти, дорівнюємо їх нулю і отримуємо систему рівнянь:
;
;
...............................................................................
.
Збіраємо коефіцієнти при зміних a0, a1, …, am і отримуємо наступну систему рівнянь:
...............................................................................
Розв’язання наведеної системи рівнянь це значення a0, a1, …, am, які треба було знайти.
Перевірка точності знайденої емпіричної формули. Після того, як повністю визначено функцію залежності можна знайти оцінку відповідності визначеної функціональної залежності з результатами спостережень. Для цього розраховується середньоквадратична похибка, яку будемо визначати d:
,
Чем менш d, тім блище наближаються результати спостережень до заданої емпіричної кривої. Обчислення средньоквадратиної похибки має суттєве значення при порівняні декількох моделей. Краща модель має найменше значення похибки d.
1.8 Макроекономічні моделі економічного зростання
Основними показниками динаміки економічного росту на макроекономічному рівні є ріст ВВП, а також темпи зростання промислового виробництва розраховуючи на душу населення. Значення цих показників мають істотну залежність від кількісних і якісних характеристик трудових ресурсів, землі, капіталу й господарського механізму, що забезпечує їхній вплив на економічний ріст.
При оцінці економічного розвитку розрізняють екстенсивний і інтенсивний типи економічного росту. Якщо при екстенсивному типі розвитку економічний ріст досягається завдяки кількісному збільшенню факторів виробництва, то при інтенсивному - шляхом підвищення якісті використання факторів. Більше того, у цьому випадку економічний ріст можливий і при зменшуваних темпах капітальних вкладень, і навіть при зменшенні їхнього фізичного обсягу. З розвитком і освоєнням досягнень науково технічного прогресу (НТП) інтенсивні фактори стають переважними. Складність вивчення економічних систем на макроекономічному рівні унеможливлює проведення експерименту. Тому основні функціональні залежності встановлюються тільки при їхньому прояві на основі аналізу аналітичної інформації, та основі кібернетичних підходів з використанням методу чорного ящика.
У міру зростання ролі НТП і розвитку нових наукомістких технологій, змінюються прояви впливу основних факторів на економічний ріст. Це підтверджується різноманіттям моделей економічного росту, серед яких найбільше часто застосовується виробнича функція (ВФ). Якщо на початкових стадіях досліджень ВФ розглядалася як лінійна функція, то вже на початку ХХ століття В.Леонтьев представив її як деякий баланс між витратами й випуском. Аналіз статистичної інформації з оборонної промисловості США за період з 1899 по 1922 рік, дозволив американським ученим Ч.Коббу й Р.Дугласу побудувати ВФ виду:
Y = A K a L β,
де: Y - обсяг виробництва; K - обсяг капіталу; L - трудові ресурси; A - коефіцієнт пропорційності; a і b - коефіцієнти еластичності виробництва по витратах капіталу й праці. Обмеження в моделі мають наступний вигляд: A > 0; a,b > 0; a + b = 1. Змінні Y, K, L відображають характер виробничої діяльності, A, a і b - числові параметри моделі.
Для пошуку числових параметрів на підставі статистичних даних за період дослідження було побудовано систему рівнянь:
ln(Yt) = ln(A) + a ln(Kt) + b ln (Lt),
де: Yt, Kt, Lt - фактичні спостережувані значення; A, a і b - числові параметри моделі були знайдені за методом найменших квадратів, як змінні, які мінімізують вираження:
За результатами проведених досліджень за розглянутий період були визначені значення A» 1.01, a» 0.25, b» 0.25 Але значення цих коефіцієнтів не були постійними, вони змінювалися в кожному наступному періоді й були різними для різних галузей в одній і тій же країні й тим більше в інших країнах, що вказувало на динамічний характер залежностей, обумовлений впливом НТП. Так, мультиплікативна виробнича функція економіки США, яка була розрахована за даними за 1980-1995 рік мала вигляд:
Y = 2,248 K 0,404 L 0,803,
де: Y, K - вимірюваються в млрд.долл.США, а L - в млн.працівників.
В 1942 р. голландський економіст лауреат Нобелівської премії Ян Тинберген почав спробу врахувати вплив НТП на економічний ріст. У його інтерпретації ВФ прийняла наступний вид:
Y = A K a L β ert, (1.8.1)
де: ert – фактор часу. ПФ такого роду являє собою найпростіший вид динамічної функції. У міру росту впливу НТП на економіку усе більше актуальним ставав прямий вимір внеску НТП.
В 40-ві роки ХХ століття розвиваються Кейнсианские теорії Р.Харрода й Э.Домара, які ґрунтуються на вивченні структурних зрушень між споживанням і заощадженням у складі доходу. Із цих позицій вплив НТП на економічний ріст характеризує ситуацію, при якій середня й гранична продуктивності капіталу залишаються незмінними. Незважаючи на ріст капиталовооруженности праці (K/L), гранична продуктивність капіталу не знижується, що було б у випадку відсутності технічного прогресу, оскільки він як би збільшує кількість праці в тій же пропорції, у якій зростає капітал. Таким чином, він є працезбільшуваючим і може бути представлений ВФ вигляді Y = F (K, AL). Це уявлення відомо як Харрод-Нейтральний технічний прогрес.
В 50-е роки ХХ століття одержала розвиток неокласична теорія Р.Солоу, що ґрунтується на вивченні структурних зрушень між працею й капіталом у складі виробничих ресурсів. Під Солоу-Нейтральним розуміється капиталоузбільшуваючий технічний прогрес, і виробнича функція має вигляд Y = F (AK, L).
Загальновизнаною є модель технічного прогресу англійського економіста, лауреата Нобелівської премії 1972 року Джона Хикса. У своєму аналізі він розглядає два фактори економічного росту — праця й капітал, виділяє три типи науково-технічного прогресу: нейтральний, працезберегаючий і капиталозберегаючий. Відповідно виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд Y=AF(K,L), де А - технологічний параметр, що показує темпи приросту віддачі від факторів виробництва в ефективних одиницях. Ефективні одиниці праці показують, скільки реальних одиниць праці й капіталу, що володіють певною віддачею, довелося б затратити на виробництво продукції при відсутності технічного прогресу. Продуктивність праці й капіталу росте рівними темпами.
Таким чином, в 50-80е роки була запропонована й обґрунтована в роботах Я.Тинбергена, Р.Солоу, Р.Харрода, Дж.Хикса концепція екзогенного (привноситься ззовні) НТП. Однак спостерігається недостатньо цілісна оцінка НТП, тому в 80-е роки з'являються моделі ендогенного НТП, засновані на ідеї нагромадження людського капіталу.
Показовими моделями з ендогенним НТП є модель П.Ромера, Ф.Агийона й П.Хоувитта[1]. П.Ромер розділяє економіку на три основних сектори. У першому дослідницькому секторі «провадяться нові знання». У другому секторі знання трансформуються в засоби виробництва (технологічне встаткування). Третій сектор за допомогою засобів виробництва, витрат праці й людського капіталу забезпечує випуск кінцевої продукції. Капітал К у моделі П.Ромера представляється як сума його складових x, витрачених на придбання необхідних засобів виробництва:
,
де: х – список засобів виробництва, використовуваних одною фірмою для випуску кінцевої продукції; a, b - деякі технологічні параметри.
У моделі Ф.Агийона й П.Хоувитта зростання досягається завдяки конкуренції між фірмами, що здійснюють технологічні нововведення. Збільшення інтенсивності потоку інновацій, масштабу впливу інновацій на економіку й частки кваліфікованої робочої сили, пов'язаної з виробництвом проміжних товарів (людський капітал у сфері НДДКР) приведе до росту й розвитку економіки.
Інтерес представляє модель Узавы, у якій уводиться функція ефекту праці [2]:
,
де: А(t)- ефект праці; L(t) – кількість праці.
Пошук шляхів підвищення адекватності ВФ реальним економічним процесам триває. Перехід до інформаційного суспільства й розвиток економіки знань актуалізує нові фактори, що здійснюють істотний вплив на макроекономічну динаміку.
За останні 50 років якісні зміни темпів росту відбулися в ряді країн Америки, Європи й особливо в Азії [3, 5]. Тому інформація про рівень ВВП, праці й капіталу, яка накопичена за цей період є основою для виявлення нових особливостей застосування ВФ при прогнозуванні економічного росту.
Виконав логарифмічне дифференцування ВФ (1.7.1) отримуємо наступне:
y = ak + bl + r,
де: y – средньорічний ріст національного продукту, l – ріст ресурсів праці, k – ріст капіталу, r – ріст національного продукту, завдяки науково-технічногго прогресу. З цього отримуємо:
r = y - ak - bl,
Чисельний аналіз впливу науково-технічного потенціалу на економічне зростання можна визначити на підставі макроекономічних показників (Табл.1.8.1).
Наприклад, в США в 2007 році темп зростання національного доходу складав 2,2% на рік. Темпи зростання ресурсів праці і капіталу склав – 1,1% і 0,9% відповідно. При α = 0,25 и b = 0,75 можна записати наступне рівняння для розрахунку r:
r = 0.022 – 0.25 x 0.09 – 0.75 x 0.011,
з якого отримуємо, що r = 0,011444. Приймаючі все зростання за 100%, можна підрахувати, що на 52% (0,011444: 0,022) зростання досягнуто за рахунок інтенсивних факторів економічного зростання і на 48% за рахунок экстенсивного розширення використання праці і капіталу.
Для порівняння в Китаї у 2007 році зростання ВВП на 13% було досягнуто на 94% за рахунок інтенсивних факторів економічного зростання і тільке на 6% за рахунок екстенсивного розширення ресурсів праці і капіталу. Темпи зростання ВВП можуть підвищуватися не тільке за рахунок науково-технічних досягнень. Суттєве зростання може бути забезпечено за рахунок збільшення здобичі і експорту корисних копалін. Наприклад, для Росії темпи зростання у більшої частині забезпечуються часткою нафтогазового комплексу. Тому, при оцінці внеску науково-технічного потенціалу необхідно виключати частку нафтогазового комплексу з ВВП.
Табл.1.8.1. – Макроекономічні показники США, Китаю і Японії.
| Роки | США | Китай | Японія | ||||||
| Чисельність працюючих (тис.осіб) | Капітал (млн.долл. США) | ВВП (млн.долл. США) | Чисельність працюючих (тис.осіб) | Капітал (млн.долл. США) | Капітал (млн.долл. США) | Чисельність працюючих (тис.осіб) | Капітал (млн.долл. США)) | Капітал (млн.долл. США) | |
| 120898,17 | 256,8942 | 5 985 152 | 1164,9702 | 64 360 | 124,3293 | ||||
| 122667,50 | 260,2554 | 6 146 210 | 1178,4396 | 64 500 | 124,6680 | ||||
| 125538,17 | 263,4357 | 6 395 858 | 1191,8353 | 64 530 | 125,0140 | ||||
| 127453,58 | 266,5572 | 6 558 151 | 1204,8551 | 64 570 | 125,3414 | ||||
| 129349,17 | 269,6674 | 6 803 769 | 1217,5501 | 64 860 | 125,6453 | ||||
| 132319,08 | 272,9118 | 7 109 775 | 1230,0752 | 65 570 | 125,9565 | ||||
| 134356,67 | 276,1152 | 7 406 631 | 1241,9352 | 65 140 | 126,2461 | ||||
| 136535,42 | 279,2947 | 7 736 163 | 1252,7349 | 64 620 | 126,4944 | ||||
| 138481,33 | 282,3387 | 8 019 378 | 1262,6453 | 64 460 | 126,7293 | ||||
| 138582,83 | 285,0239 | 8 079 583 | 1271,8500 | 64 120 | 126,9720 | ||||
| 138214,42 | 287,6755 | 8 208 732 | 1280,3997 | 63 300 | 127,1872 | ||||
| 139338,00 | 290,3425 | 8 414 751 | 1288,3999 | 63 160 | 127,3578 | ||||
| 140844,00 | 293,0276 | 8 720 920 | 1295,7339 | 63 290 | 127,4805 | ||||
| 143280,00 | 295,7341 | 8 977 178 | 1303,1825 | 63 560 | 127,5372 | ||||
| 145974,00 | 298,4442 | 9 226 573 | 1310,8238 | 63 820 | 127,5152 | ||||
| 147589,00 | 301,1399 | 9 429 558 | 1318,6831 | 64 120 | 127,4335 | ||||
| 146851,06 | 303,8247 | 9 533 283 | 1326,8562 | 63 924 | 127,2884 |
Источник: Conference Board and Groningen Growth and Development Centre (http://www.conference-board.org/economics/).
1.9 Моделі міжгалузевого балансу
При економічному плануванні на рівні регіонів або країни в цілому виникає необхідність визначення обсягу випуску товарів, що забезпечує заданий попит населення й виробничі потреби на ці товари при відомій технології. У припущенні про лінійність технології (тобто про пряму пропорційність обсягу випуску обсягам витрат ресурсів) математичною формалізацією цього завдання є знаменита модель " Витрати-Випуск", яка отримана в 1930 р. американським економістом В. Леонтьєвим. Ця модель отримала назву – Модель міжгалузевого балансу (МГБ).
Однопродуктова модель. Припустимо, що ми маэмо чисту галузь, яка не пов’язана зв’язками з іншими. Введемо наступні позначення:
Z – сукупний валовий продукт;
M – частка витрат із Z на поточне виробництво;
Y – кінцевий продукт;
L, F – екзогені фактори впливу на виробництво.
Рис. 1.9.1. Схема взаємозв’язків однопродуктової моделі.
В однопродуктовій моделі мають місце наступні балансові співвідношення:
Z = M + Y, або Z – M – Y = 0.
Враховуючі, що сукупний випуск може бути представлений виробничою функцією:
Z = a0 Ma1 La2 Fa3,
то бдалансове рівняння буде мати наступний вигляд:
a0 Ma1 La2 Fa3 – M – Y = 0.
Параметри в цей емпіричної функції визначаються за даними статистичних досліджень.
Двопродуктова модель. Якщо до однопродуктової моделі додати ще одну такуж галузь і 
встановити між ними зв’язки, то отримуємо двопродуктову модель (Рис. 1.9.2).
Рис. 1.9.2. Схема взаємозв’язків двопродуктової моделі.
Сукупна всіх витрат першої галузі на поточне виробництво обох галузей дорівнює M1 = M11 +M12, а другої – відповідно M2 = M21 +M22, тобто у двопродуктовій моделі балансові умови додатково відбівають співвідношення спільних зв’язки між галузями:
Z1 – M12 – M11 – Y1 = 0 або Z1 – M1 – Y1 = 0
Z2 – M21 – M22 – Y2 = 0 або Z2 – M2 – Y2 = 0
Витрати екзогенних факторів розподіляються між галузями:
L = L1 + L2
F = F1 + F2
Багатопродуктова модель. У практичної діяльності найчастіше розглядаються багато продуктові моделі. Якщо позначити номер галузі виробників як j = 1, 2, …, n та споживачів як i=1, 2, …, n, то балансові умови в загальному вигляді можна уявити як:
Позначимо кількість продукції i на виробництво одиниці продукції галузі j як aij - коефіцієнт обумовлений технологією, яка склалося на виробництві. Цей коефіцієнт відбіває норматив прямих витрат. Враховуваючі що Mij залежить від випуску Zj галузі j відповідно умов технології, які відображаються як aij, отримаємо Mij = aij Zj. Витрати екзогенних факторів L та F також визначаються зведеними технологичними нормами витрат ресурсів l та f в розрахунку на одиницю випуску продукції в галузі.
Постанвка задачі МГБ міститься в тому, що треба знайти вектор валового випуску галузей Z, при заданому векторі потреб Y та нормативних коефіцієнтах A технологічного способу виробництва. Для рішення цієї задачі на підставі рівнянь міжгалузевого балансу може бути створена наступна економіко-математична модель:
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 303 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
