Приклад 1. Прийняття рішень в умовах невизначеністі

Прийняття рішень в умовах невизначеністі. В умовах невизначеністі система, яка досліджується може знаходитися в одном з становищ S₁, S₂, …, S_k, які не відомі ОПР. Математичну модель задачі прийняття рішень в умовах невизначеністі можна сформулюювати натупним чином.

Візьмемо матрицю U розмірністю m´n (таблиця 1.12.1). Елемент цієї матриці u_ij можна розглядати як корисність результату y_j при використанні стратегії x_i:

u_ij = u (y_j, x_i), j = 1,n, i =1,m.

В залежності від стану природи S_k результат y_j досягається з ймовірностю P(S_k,y_j|x_i). Крім того, ОПР не має інформації про апріорні ймовірності P(S_k). ОПР може деякі гіпотези про стан природи, які називають суб’єктивними ймовірностями. Якщо величіна P(S_k) була би відома ОПР, то це була бі математична задача пошуку рішень в умовах ризику.

В умовах, якщо ОПР не має інформації про стан природи і не визначено розподіл ймовірностей {P(S_k)} k=1,K, існуєть декілька критеріїв щодо вибору оптимальної стратегії.

Критерій Вальда (критерій обережного спостірегача). Цей критерій оптимізує корисність при найгіршому стані, в якому може знаходитись природа для спостеригача. За даним критерієм правили прийняття рішень має наступний вигляд:

,

де:

. (1.12.4)

За критерієм Вальда обирають стратегію, яка надає гарантований виграш при найгіршому варіанті стану природи.

Критерій Гурвиця заснован на наступних двух припущеннях: якщо обрати деякий коефіцієнт довіри - a, то природа може знаходитися в найгіршому стані з ймовірністю 1-a, а у найвигіднішому – з ймовірностю a. За цім критерієм правило прийняття рішень має наступний математичний вигляд:

, (1.12.5)

Якщо a = 0, то отримуємо критерій Вальда. Якщо a = 1, то отримуємо правило, яке має назву стратегії оптиміста. Правило має математичний вигляд:

.

Критерій Лапласа. Якщо стан природи (зовнішнього середовища) невизначений, то вважається що будь-який стан має рівну ймовірність, тобто P(S₁) = P(S₂) = … = P(S_k) = 1/k. Тому правило прийняття рішення визначається співвідношенням (1.12.3).

Критерій Севіджа (критерій мінімізації жалів). Жаль - це вилічина, яка дорівнює виміру корисності рішення (результата) при даному поточному стані середовища відносно найкращого можливого стану (для даного рішення). Для того, щоб визначити жаль, виконують наступні процедури.

Обчислюють матрицю , де u_ik=u(x_i, S_k), i=1,m, k=1,k. У кожному стовпці цій матриці знаходять максимальний елемент:

, k=1,K

Його відраховують від усіх елементів стовпця. Потім будують матрицю жалів:

,

де: .

Правило обрання оптимальної стратегії відповідно до критерію Севіджа записується наступним чином:

.

Вибір критерію прийняття рішень є найбільш складним і відповідальним етапом при прийнятті рішень в умовах не визначеністі. При цьому не існує яких-небудь загальних рекомендацій. Вибір критерію повина робити ОПР на найвищому рівні ієрархії й у максимальному ступені погоджувати його зі специфікою конкретної задачі й своїми цілями. Зокрема, якщо приймається дуже відповідальне рішення й навіть мінімальний ризик неприпустимий, те варто використовувати критерій Вальда – гарантованого результату. Навпаки, якщо певний ризик допустимо й керівництво фірми (замовник) готово вкласти в намічувану операцію стільки засобів, скільки потрібно, щоб потім не шкодувати за втраченою вигодою, то вибирають критерій Сэвиджа.

При відсутності достатньої інформації для вибору того або іншого критерію можливим є альтернативний підхід, повязаний з обчисленням імовірностей (шансів) успіху й невдачі на основі минулого досвіду.