Мощность множества

Мощностью конечного множества А называется количество элементов в нем. Мощность принято обозначать card A.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество АхВ, состоящее из всех упорядоченных пар {(а, b), а ÎА, b ÎВ}.

Правило произведения: для любых конечных множеств А и В card AxB=cardA×card B.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Заданы множества А{1,2}, В={3,4}. Выписать все элементы множества АхВ.

Решение. АхВ={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}.

Задача 2. Верно ли, что мощность разности двух множеств равна разности их мощностей? В каких случаях это верно?

Решение. Рассмотрим множества А и В. card (A\B)=cardA\cardB верно в следующих случаях:

1. Если В=Æ, например, А={ a,b,c }, B=Æ. По определению А\В={ a,b,c }, card A=3, card B=0, card (A\B)=3. Итак, card (A\B)= card A - card В.

2. Если А£В, А={ a,b,c }, B={ a,b }, А\B={ с }Þ card (A\B)=1, card A - card B=3-2=1.

Итак, card (A\B)= card A - card B. Пусть А={ a,b,c }, В={ a,b,c }, А\В=ÆÞ card (A\B)=0. card A=3, card B=3. card A - card B=3-3=0. Итак, card (A\B)=0. card A - card B.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 1. Заданы множества А и В. Выписать все элементы множества АхВ. 1) А={ a,b,c }, B={ d,t }, 2) A={1,2,3}, B={2,3,6}.

Задача 2*. Верно ли, что мощность объединения двух множеств равна сумме их мощностей? В каких случаях это верно?

Задача 3*. Верно ли, что мощность пересечения двух множеств равна произведению их мощностей? В каких случаях это верно?