Завдання. В роботі досліджуються динамічні характеристики простих ланок: ідеальної, аперіодичної, коливальної

В роботі досліджуються динамічні характеристики простих ланок: ідеальної, аперіодичної, коливальної, та ідеальної інтегруючої ланки.

При підготовці до виконання лабораторної роботи необхідно самостійно опрацювати наступні запитання:

1) Класифікація динамічних ланок за видом правої і лівої частин диференціального рівняння.

2) Основні динамічні характеристики ланок і зв’язок між ними.

3) Перетворення з’єднань ланок.

Короткі теоретичні відомості

В теорії автоматичного керування при використанні математичної моделі «вхід – вихід» широко використовується перетворення Лапласа, яке дозволяє лінійне диференціальне рівняння зі сталими коефіцієнтами перевести з часової області з аргументом в алгебраїчне рівняння в області зображень з комплексним аргументом . Формули прямого і зворотного перетворень Лапласа:

;

програми прямого і зворотного перетворення Лапласа є складовою частиною пакетів MATLAB і MathCAD, також є таблиці для прямого і зворотного перетворення.

Перетворення Лапласа від похідної визначається за формулою

тобто необхідно знати початкові значення самої величини та її похідних до -го порядку включно, що ускладнює розрахунки. Тому зазвичай припускають, що початкові умови – нульові. Якщо необхідно початкові умови враховувати, можна скористатися методом еквівалентних початкових умов. У такому разі ненульові початкові умови замінюються нульовими, але при цьому змінюється права частина рівняння «вхід – вихід».

При аналізі і синтезі автоматичних систем в області зображень використовується поняття передаточної функції. Передаточною функцією називається відношення зображення по Лапласу вихідного сигналу до зображення по Лапласу вхідного сигналу за нульових початкових умов:

, . (1)

Дуже зручним є ланковий принцип розчленовування автоматичної системи. Ланкою називається абстрактна частина системи, яка описується диференціальним рівнянням не вище другого порядку. Ланка, як правило, не є елементом системи. Рівняння ланки в загальному випадку має вигляд:

, (2)

де – зображення сигналу на вході, а – на виході ланки.

Класифікація ланок (табл. 1.1) здійснюється за видом правої і лівої частин рівняння, що їх описують, або, іншими словами, за чисельником і знаменником передаточної функції. Якщо в лівій частині рівняння (2) хоча б один з коефіцієнтів дорівнює нулю або від’ємний, то ланка буде нестійкою. Графічне зображення САК у вигляді динамічних ланок і зв'язків між ними називається структурною ланковою схемою САК.

Автоматична система (АС) в цілому описується такими ж динамічними характеристиками, як і окрема ланка. Перехідний процес в АС повинен задовольняти певним вимогам. Показники якості перехідного процесу системи можна оцінити за так званими динамічними характеристиками.

Таблиця 1.1.

Основні ознаки класифікації ланок

Ліва частина рівняння (2):	Права частина рівняння (2):
1. – безінерційна (ідеальна) ланка; 2. – аперіодична ланка; 3. а) при – коливальна ланка, б) при – консервативна коливальна ланка, в) при – аперіодична ланка другого порядку. – стала часу ланки, визначає його інерційність, – логарифмічний декремент затухання.	1. – проста ланка; 2. – диференціювальна ланка; 3. – інтегрувальна ланка; 4. – ланка з введенням похідної; 5. – ланка з введенням першої і другої похідних; 6. – ланка із запізнюванням, – час запізнювання.

Часові динамічні характеристики

1) Первинною динамічною характеристикою є диференціальне рівняння, записане в одній з форм (звичайній, операторній, операційній та інш.). В звичайній формі запису маємо

(3)

,

– вихідна величина (координата) системи, а – вхідна.

Операторна форма запису відрізняється деякою компактністю

, .(4)

Операційна форма запису дозволяє від диференціального рівняння перейти до алгебраїчного

, (5)

де – комплексна величина. Рівняння (5) записане за нульових початкових умов (НПУ).

При математичному моделюванні в просторі станів використовується канонічна форма запису рівняння (3). Замість одного рівняння -ого порядку записується рівнянь першого порядку. Якщо рівняння задане у формі (4), при (якщо всі коефіцієнти рівняння (4) ділимо на ), то, позначивши вихідну змінну , замість рівняння (4) отримаємо систему:

(6)

2) Передаточна функція САК (ланки). Її умовно можна віднести до часових динамічних характеристик, оскільки вона записується в області зображень функцій часу. Передаточною функцією САК (ланки) називається відношення зображення за Лапласом вихідного сигналу до зображення за Лапласом вхідного сигналу при нульових початкових умовах.

Передаточну функцію формально можна отримати з диференціального рівняння системи, записаного в операторній формі (4), або операційній формі (5):

(7)

3) Перехідна функція САК (ланки) – це реакція системи (ланки) на одиничний стрибок за нульових початкових умов. Перехідна функція може бути визначена як розв’язок диференціального рівняння системи за НПУ і при вхідному сигналі . Зображення перехідної функції .

4) Імпульсна перехідна функція САК (ланки) – це реакція системи (ланки) на одиничний імпульс за нульових початкових умов. Імпульсна перехідна функція може бути визначена як розв’язок диференціального рівняння системи за НПУ і при вхідному сигналі . Зображення імпульсної перехідної функції дорівнює .

Перехідна функція і імпульсна перехідна функція в області оригіналів (функцій часу) зв'язані співвідношеннями

.

Очевидно, що для оцінки динамічних властивостей системи (ланки) в рівній мірі може бути використана будь-яка з часових характеристик.