Свойства статистических оценок

Качество получаемых оценок определяется следующими основными свойствами:

1) несмещенность - математическое ожидание оценки должно быть равно неизвестному истинному значению параметра.

Это означает, что выборочные оценки как бы концентрируются вокруг неизвестных истинных значений параметров; не происходит систематических ошибок при оценивании. Это очень важное свойство, - если бы оно не выполнялось, оценка давала бы заведомо неверную информацию.

2) состоятельность – оценки должны удовлетворять закону больших чисел, т.е при стремлении числа наблюдений к бесконечности вероятность того, что отклонение выборочной оценки от истинного значения будет ничтожно малым, стремится к единице.

Сущность закона больших чисел состоит в том, что при большом числе случайных величин их средний результат становится практически достоверным (совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая).

На практике свойство состоятельности означает, что для получения достоверных оценок целесообразно брать большие по объему выборки. С ростом числа наблюдений разброс оценок становится все меньше, оценки становятся все более надежными, все плотнее концентрируются вокруг истинных значений. Т.е. если взять тридцать выборок по сто студентов, то будет получено тридцать выборочных оценок, для которых можно подсчитать дисперсию. Если взять тридцать выборок по двести студентов, то будут получены другие тридцать оценок, дисперсия которых, скорее всего, будет меньше. Если брать выборки по триста, по пятьсот, по тысяче студентов и т.д., то дисперсии, скорее всего, будут и далее уменьшаться.

При стремлении числа наблюдений к бесконечности дисперсии оценок стремятся к нулю, т.е. оценки становятся почти равны истинным значениям.

3) эффективность – это свойство имеет место для несмещенных оценок, которые имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими несмещенными оценками параметров по выборке того же объема.

Можно доказать, что выборочная средняя всегда является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней.

Однако, для выборочной дисперсии будет выполняться только свойство состоятельности. Можно доказать, что выборочная дисперсия будет смещенной оценкой генеральной дисперсии, т.е. будет давать систематическую ошибку (причем в сторону уменьшения: генеральная дисперсия занижается). Чтобы исправить это, для расчета оценки генеральной дисперсии необходимо внести изменения в формулу, по которой рассчитывается выборочная дисперсия. А именно, сумму квадратов отклонений от среднего делят не на число наблюдений, а на это число минус единица: . Такая оценка будет несмещенной.

Вопросы эффективности оценок здесь рассматривать не будем.