Равномерное распределение непрерывной случайной величины

Рассмотрим пример непрерывной случайной величины. Служащий ездит на работу, и дорога отнимет у него 20-30 мин., причем любое время на дорогу в этих пределах равновероятно.

Случайная величина – время, потраченное на дорогу, - является непрерывной.

Если случайная величина принимает равновероятные значения на некотором промежутке [a; b], то ее распределение называют равномерным, и его плотность определяется по формуле:

;

а функция распределения*:

Для рассматриваемого примера:

.

Построим графики этих функций (рисунок 13):

Рисунок 13 – Функция и плотность равномерного распределения

Отметим, что площадь под кривой графика плотности вероятности f(x) равна 1. В самом деле, 0,1*(30-20) = 1, т.е.

Определим, например, вероятность того, что дорога на работу займет от 22 до 25 минут, т.е. . Для этого найдем , т.е. площадь под графиком плотности распределения на промежутке [22; 25]: 0,1*(25 - 22) = 0,3.

С помощью функции распределения эту же вероятность можно найти, как F(25) - F(22) = (25 - 20)*0,1 - (22 - 20)*0,1 = 0,3.

Для равномерного распределения математическое ожидание

.

Для рассмотренного примера М(х) = (20 + 30)/2 = 25, т.е. ожидаемое время на дорогу – 25 минут.

Найдем дисперсию равномерного распределения:

Для рассмотренного примера D(х) = (30 + 20)²/12 = 8 1/3, среднеквадратическое отклонение времени на дорогу составляет минуты.