ТЕМА 6 показники варіації

1. Поняття варіації та її основні показники.

2. Математичні властивості дисперсій.

3. Види дисперсій.

4. Характеристики форми розподілу.

1. Поняття варіації та її основні показники

Середні величини, як узагальнюючі показники, характери­зують сукупності за варіюючою ознакою, вказують на їх типовий рівень у розрахунку на одиницю однорідної сукупності. Проте середня величина не пояснює, як групуються навколо неї окремі значення — чи лежать вони поблизу, чи навпаки, істотно відхи­ляються від середньої. В одних сукупностях індивідуальні значен­ня ознаки щільно групуються навколо центру розподілу, в інших — значно відхиляються. Чим менші відхилення, тим од­но- рідніша сукупність, а отже, тим більш надійні і типові середні характеристики розподілу.

Дослідження характеру та величини мінливості статистич­них сукупностей дозволяє оцінити стійкість (однорідність або не­однорідність) статистичних сукупностей та інтенсивність струк­турних зрушень, виявити вплив різних чинників на коливання ознак та щільність взаємозв'язків соціально-економічних явищ, розробити конкретні заходи для підсилення позитивних коли-нань і зменшення негативних наслідків високої мінливості окре­мих чинників.

Коливання окремих значень ознаки характеризують показ­ники варіації. Термін "варіація" походить від латинського vагіа-tio- зміна, коливання, відмінність. Варіацією в статистиці нази-вають кількісні зміни величини досліджуваної ознаки в межах од­норідної сукупності, які зумовлені впливом дії різних факторів.

Неважко уявити дві сукупності, в яких середні величини варіюючої ознаки однакові, проте наближення індивідуальних значень у кожній сукупності до середньої є різним. Ось чому для характеристики сукупності велике практичне значення має вив­чення відхилень досліджуваної ознаки окремих одиниць сукуп­ності від середньої величини. Треба брати до уваги не лише крайні відхилення, а й сукупність відхилень усіх варіантів. Від розміру і розподілу цих відхилень залежить типовість і надійність середніх величин.

Для вимірювання та оцінки варіації використовуються абсолютні й відносні характеристики. До абсолютних належать: розмах варіації, середнє лінійне та середнє квадратичне відхилення, дисперсії; відносні характеристики представлені низкою коефіцієнтів: варіації, локалізації, концентрації. Всі перелічені показники є іменованими величинами, крім коефіцієнтів, які обчислюються у відсотках.

Для характеристики розмірів коливань ознаки по відношенню до середньої величини обчислимо показники варіації.

У системі показників варіації найпростішим є показник розмаху варіації-(амплітуди коливань). Розмах варіації характеризує Межі, в яких змінюється значення ознаки, і обчислюється як різниця між максимальним і мінімальним значенням ознаки.

В інтервальному ряді розподілу розмах варіації визначають як різницю між верхнею межею останнього інтервалу і нижньою межею першого або як різницю між середніми значеннями цих інтервалів.

Безумовною перевагою розмаху варіації, як міри коливання ознаки, є простота його обчислення, але надійність такої простої характеристики невисока, оскільки вона базується на двох крайніх значеннях ознаки, які часто не є типовими для сукупності, або мають випадковий характер. Тому розмах варіації ви­користовують для попередньої оцінки варіації.

У практиці статистико-економічного аналізу широко використовують характеристики варіації, що грунтуються на відхилення індивідуальних значень ознаки від середньої величини x_i – x^-. Оскільки (x_i – x^-)= 0, то при розрахунку такого роду характеристик використовують або модулі, або квадрати відхилень. У результаті маємо такі характеристики варіації: середнє лінійне d^-_i і середнє квадратичне відхилення G та дисперсію G².

Методика обчислення цих показників залежить від характеру вихідних даних

1. Середнє лінійне відхилення обчислюємо за формулою:

2. Середній квадрат відхилень (дисперсію) обчислюємо за формулою:

3.Середнє квадратичне відхилення обчислюємо за формулою:

Середнє квадратичне відхилення є мірилом надійності середньої. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим об'єк-тивніше середня арифметична відображує всю сукупність.

Усі розглянуті показники варіації — розмах варіації, се­реднє лінійне відхилення, середній квадрат відхилень та середнє квадратичне відхилення — завжди виражають у одиницях вихідних даних ряду та середньої величини. Всі вони є абсолютним виміром варіації. А це означає, що безпосередньо порівнювати абсолютні показники варіації у варіаційних рядах різних явищ не можна. Для того, щоб забезпечити їх порівняння, потрібно обчислити показники, які характеризують варіацію, виражену в стандартних величинах, наприклад, у відсотках. Відношення абсолютних характеристик варіації до середньої величини називаються коефіцієнтами варіації. Коефіцієнти варіації розраховують за формулами:

Коефіцієнти варіації дозволяють порівнювати варіацію різних ознак або варіацію однієї ознаки у різних сукупностях. Для порівняння варіацій найчастіше використовують квадратич­ний коефіцієнт варіації. Цей показник вживається для оцінки однорідності сукупності, тобто надійності і типовості середньої величини. Розрізняють такі значення відносних коливань:

Вважають, що сукупність є однорідною, а середня — типовою, коли коефіцієнт не перевищує 33%.

Висновки:

1. Середня величина (середня арифметична) має важливе пізнавальне значення, однак вона не завжди об'єктивно і не завжди із однаковим ступенем достовірності відображує внутрішній стан статистичної сукупності. При однаковому значенні середньої статистичні сукупності можуть бути досить нерівно­цінні за рівнем коливань (варіації).

2. Чим менше відхилення, тим типовіша середня, тим більш однорідна сукупність.

3. Універсальним показником варіації є коефіцієнт варіації, цінність якого полягає в тому, що ним можна користуватись для характеристики і порівняння варіації різних сукупностей і різних явищ.

2. Математичні властивості дисперсії

Дисперсія (середній квадрат відхилень) має певні матема­тичні властивості, урахування яких дає змогу суттєво спростити її обчислення.

1. Якщо всі значення варіант зменшити на будь-яке стале число А, то середній квадрат відхилень від цього не зміниться:будь-яких інших величин. У такому випадку, коли величину А прирівняти до нуля, то:

Отже, дисперсія ознаки, або середній квадрат відхилень G²_х дорівнює різниці між середнім квадратом значень ознаки х² і квадратом середнього значення ознаки (x^-)². Таким чином, не обчислюючи відхилень можна обчислити дисперсію.

2. Якщо всі значення варіант поділити на будь-яке стале число і, то дисперсія зменшиться внаслідок цього в і² разів, а середнє квадратичне відхилення — в і разів:

З. Якщо обчислити квадрат відхилень від будь-якої величини А, що тією чи іншою мірою відмінна від середньої арифметич­ної х^-, то він завжди буде більшим за середній квадрат відхилень (дисперсію) G², обчислений від середньої арифметичної G²_A > G²_X причому більший на певне значення — квадрат різниці між середньою і цією величиною, тобто на (x^--А)²

Дисперсія від середньої величини має властивість мінімальності, тобто вона завжди менша від дисперсії, обчисленої від будь-яких інших причин. На основі наведених математичних властивостей дисперсії базується спрощений спосіб розрахунку дисперсії та середнього квадратичного відхилення, який називається способом моментів, або спосіб відліку від умовного нуля. Він застосовується при умові рівних інтервалів. Використання цього методу є доцільним при великих вихідних значеннях інтервального ряду розподілу.

після відповідних перетворень дістанемо:

Отже, дисперсія, обчислена за способом моментів, дорівнює добутку квадрата інтервалу на різницю моменту другого по­рядку і квадрата моменту першого порядку:

3. Види дисперсій

Варіація ознаки формується під впливом різних факторів. При вивченні дисперсії досліджуваної ознаки в межах даної сукупності можна визначити три показники коливання ознаки: загальну дисперсію, міжгрупову дисперсію і середню із групових дисперсій.

Загальна дисперсія, яку вже було розглянуто, характеризує загальну варіацію ознаки під впливом усіх умов і причин, що зумовили цю варіацію.

Для визначення впливу постійного фактора на розмір варіації потрібно розбити всю сукупність на групи та знайти, як змінюється результат під дією чинника, покладеного в основу групування. Для цього попередньо необхідно обчислити для кожної групи середню величину ознаки, групові (часткові) дисперсії, середню з групових та міжгрупову дисперсію.

Групова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи від середньої арифметичної відповідної групи, її можна обчислити як середню просту і як зважену за формулами:

Ця дисперсія відображує варіацію ознаки лише за рахунок умов і причин, що діють всередині групи.

Середня з групових дисперсій — це середня арифметична зважена з групових дисперсій:

Міжгрупова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх х^-₁ загальної середньої x:

де G² — міжгрупова дисперсія;

х_i — середня кожної окремої гру-пи;

х^- — загальна середня всієї сукупності; f_i — частоти.

Міжгрупова дисперсія характеризує варіацію результатив­ної ознаки за рахунок групувальної ознаки.

Між наведеними видами дисперсій існує певне співвідношення: загальна дисперсія дорівнює сумі середньої з групових дисперсій та міжгрупової дисперсії.

Це співвідношення називають правилом додавання дисперсій, за яким, знаючи два види дисперсій, можна визначити третій.

4. Характеристики форми розподілу

Однорідність сукупності — це передумова використання інших статистичних методів (середніх величин, регресійного аналізу тощо). Однорідними вважаються такі сукупності, елементи яких мають спільні властивості (риси) і належать до одного типу, класу. При цьому однорідність означає не повну тотожність рис і властивостей елементів, а лише наявність у них за­гального в істотному, головному.

Формою розподілу статистичної сукупності прийнято нази­вати криву співвідношення частот і значень варіюючої ознаки. Різноманітність статистичних сукупностей — передумова різних форм співвідношення частот і варіюючої ознаки. За своєю формою розподіли поділяють на такі види: одно-, дво- і багатовер-шинні. Наявність двох і більше вершин свідчить про неоднорідність сукупності, про поєднання в ній груп із різними рівнями ознаки. Розподіли якісно однорідних сукупностей, як правило, одновершинні. Серед одновершинних розподілів є симетричні і асиметричні (скошені), гостро- і плосковершинні.

У симетричному розподілі рівновіддалені від центру значен­ня ознаки мають однакові частоти, а в асиметричному — вершина розподілу зміщена. Напрям асиметрії протилежний напряму зміщення вершини. Якщо вершина зміщена вліво, то це право-стороння асиметрія, і навпаки.

Найпростішою мірою асиметрії є відхилення між середньою арифметичною, модою і медіаною. В симетричному розподілі характеристики центру мають однакові значення x^- = Ме = Мо_; в асиметричному між ними існують певні розбіжності. При пра-восторонній асиметрії x^- > Ме > Мо при лівосторонній, x^- < < Ме < Мо.

Асиметрія як відносна статистична характеристика дорівнює різниці між середнім значенням і медіаною або модою, поділеними на середнє квадратичне відхилення.

Стандартизовані відхилення

характеризують напрям і міру скошеності розподілу. Очевидно, що в симетричному розподілі А = 0, при правосторонній асиметрії А > 0, при лівосторонній А < 0.

В разі потреби здійснюють безпосередню оцінку концент­рації розподілу елементів сукупності d_i з обсягом ознаки D_i (хd). При рівномірному розподілі d_i =хd_i. Суттєві відхилення хd_i — d_i вказують на певну концентрацію елементів сукупності. На відхиленнях часток двох розподілів — за кількістю елементів сукупності і обсягом значень ознаки — грунтується оцінка концентрації. Як міра концентрації використовується півсума модулів відхилень:

Число К має назву коефіцієнта концентрації. При рівномірному розподілі К = 0, при повній концентрації К = 1. Звідси випливає, що коефіцієнт концентрації змінюється у межах від 0 до 1.

Коефіцієнти концентрації широко використовуються в регіональному аналізі для оцінки рівномірності територіального розподілу виробничих потужностей, фінансових ресурсів тощо.

ТЕМА 8 СТАТИСТИЧНІ ІНДЕКСИ

1. Поняття про статистичні індекси та завдання індексного методу аналізу. Види індексів.

2. Методологічні основи побудови індивідуальнихі загальних індексів. Агрегатні індекси.

3. Середньозважені індекси.

4. Системи взаємозалежних індексів і визначення впливу окремих факторів.

5. Індекси з постійними і змінними вагами.

6. Індекси динаміки середнього рівня інтенсивного показника.

7. Територіальні індекси.

1. Поняття про статистичні індекси та завдання індексного методу аналізу. Види індексів

Індексний метод — один із найпоширеніших статистичних прийомів дослідження соціально-економічних явищ і процесів. Основне призначення статистичних індексів — кількісно охарактери­зувати відносну зміну складних економічних явищ у часі і просторі.

Слово "індекс" (латинське index) у статистиці означає узагальнюючий показник, який характеризує рівень досліджуваного явища відносно рівня, прийнятого за базу порівняння. Метод індексних чисел, або індексів (index-numbers, тобто число-показ-ник) — статистичний метод, розроблений, в основному, для вивчення господарських явищ. Пізніше його почали використовува­ти і для вивчення демографічних явищ. Цей метод одержав широке розповсюдження в кінці минулого століття при вивченні зміни рівня товарних цін, потім при аналізі руху промислової продукції, рівня продуктивності праці тощо. Сьогодні індекси вико­ристовують в усіх галузях економічної науки і практики.

Значна частина сукупностей, що вивчає статистика, складається з елементів, які можна підсумовувати. Так, динаміку чисельності робітників і службовців, зайнятих у народному господарстві, обчислюють зіставляючи сумарну чисельність робітників і службовців у всіх галузях народного господарства звітного і базисного періодів. У такий спосіб обчислюють зміну посівних площ, поголів'я худоби тощо. В основу таких порівнянь покладено сумарність елементів, з яких складаються порівнювані сукупності. Проте здебільшого сукупності складаються з елементів, котрі безпосередньо не можна підсумувати, і це трапляється дуже часто у дослідженнях.

Класичні індексні розрахунки зароджувались і розвивались стосовно до непорівнянних в економічному розумінні явищ. З та­кими сукупностями, наприклад, мають справу, коли вивчають зміни виробництва продукції чи обсягу товарообігу, які в натуральному виразі складаються з різних споживних благ. Оскільки ці елементи виражені в натурально-речовій формі, їх не можна безпосередньо підсумовувати. Не можна, наприклад, додати тон­ни цементу і тонни цукру, або пари взуття і метри тканин тощо. Втім, потреба в одержанні узагальнюючої характеристики обся­гу продукції або товарів зумовлена практичною діяльністю.

Практична потреба, яка полягала в тому, щоб порівняти непорівнянне, обумовила виникнення відповідної теорії побудови індексів, за допомогою яких непорівнянні явища шляхом їх агрегатування з певними співвимірниками перетворювались у порівнянні. Наприклад, неможливість підсумовування різних видів продукції у натурально-речовій формі можна подолати, ви­користовуючи співвимірник, в основу якого покладено загальну властивість, притаманну всім елементам. У даному випадку таким співвимірником може бути вартість продукту, виражена ціною. Через грошовий вираз вартості окремих виробів усувається їхня непорівнюванність як споживних вартостей.

Отже, статистичний індекс — це узагальнюючий показник, який виражає співвідношення величин складного економічного явища, що складається з елементів безпосередньо несумірних.

За своєю суттю статистичний індекс — це відносна величи­на, що характеризує зміну рівня будь-якого суспільного явища в часі, просторі чи порівняно з планом, нормою, стандартом. Так як і відносні величини, одержані в результаті порівняння однойменних величин, індекси можуть бути виражені у вигляді ко­ефіцієнта або у відсотках.

Індекс, як будь-який статистичний показник, поєднує в собі якісний та кількісний аспекти. Назва індексу відбиває соціально-економічний зміст показника, а числове значення — інтен­сивність змін або ступінь відхилення.

За допомогою індексного методу вирішують такі завдання:

• Одержують порівняльну характеристику зміни явища у часі, де індекси виступають як показники динаміки;

• характеризують виконання норми, затвердженого стандарту чи плану. Отже, індекси є засобом оперативного висвітлення виробничого процесу;

• оцінюють роль окремих факторів, що формують складне явище;

• дають порівняльну характеристику зміни явищ у просторі. У цьому разі індекси забезпечують територіальні порівняння.

Широкий спектр завдань, що вирішують за допомогою індексного методу при вивченні соціально-економічних явищ, зумовлює порядок формування і використання цілої системи цих показників. У статистиці розрізняють декілька видів індексів. В основу їх класифікації покладено різні ознаки: характер об 'єкта дослідження; ступінь охоплення одиниць сукупності; метод обчислення; база і характер порівняння тощо.

За характером досліджуваних об'єктів розрізняють індекси об 'ємних і якісних показників.

Індекси об'ємних показників — це індекси фізичного обсягу продукції, товарообігу, споживання окремих продуктів тощо.

Індекси якісних показників — це індекси цін, собівартості продукції, продуктивності праці, врожайності тощо.

Поділ індексів на об'ємні та якісні має велике значення для методології їх побудови.

За ступенем охоплення одиниць сукупності індекси поділяються на індивідуальні і загальні (зведені).

Індивідуальні індекси дають порівняльну характеристику співвідношення рівнів показників окремих елементів складного явища.

Загальні індекси характеризують зміну складного явища, тобто є співвідношенням рівнів показника, до складу якого вхоять різнорідні елементи. Якщо індекси охоплюють не всі оди­ниці сукупності, то їх називають груповими, або субіндексами.

Залежно від методології обчислення загальні індекси поділяють на агрегатні і середні з індивідуальних індексів. Згідно з індексною теорією, про що йтиметься далі, агрегатні індекси є основною формою економічних індексів, а середні з індивідуальних індексів — похідними, їх отримують внаслідок перетворення агрегатних індексів. Добір тієї чи іншої форми залежить від мети дослідження та наявної інформації.

Залежно від бази порівняння розрізняють ланцюгові і базисні індекси.

Ланцюгові індекси одержують шляхом порівняння абсолютних даних кожного періоду з даними попереднього періоду.

Базисні індекси обчислюють порівнянням абсолютних даних кожного періоду з даними якого-небудь одного періоду, взятого за базу порівняння.

За характером порівнянь індекси поділяються на ди­намічні, територіальні, міжгрупові.

Динамічні індекси характеризують співвідношення явищ у часі.

Територіальні індекси визначають ступінь відхилення значень показника у просторі — між об'єктами, країнами, регіонами тощо.

Міжгрупові індекси характеризують відхилення від певного стандарту (еталонного, максимального чи мінімального значення) або від середнього рівня по сукупності в цілому.

Особливу групу становлять індекси середніх величин, які характеризують зміни середнього рівня якісних ознак. До цієї групи входять індекси змінного і постійного складу та структурних зрушень.

Методика розрахунку (модель) індексу залежить від мети дослідження, статистичної природи показника, ступеня агрегова-ності інформації. Мета дослідження, зокрема, визначає функцію, яку виконує індекс у конкретному аналізі. Розрізняють дві функції індексів:

1. синтетичну, пов'язану з побудовою узагальнюючих характеристик динаміки чи просторових порівнянь;

2. аналітичну, спрямовану на вивчення закономірностей динаміки, функціональних взаємозв'язків, структурних зрушень.

Синтетична і аналітична функції індексів взаємопов'язані, і часто один і той самий індекс виконує обидві функції.

2. Методологічні основи побудови індивідуальних і загальних індексів.

Агрегатні індекси

Будь-який індекс в статистиці — це співвідношення двох однойменних показників. Показник, з яким здійснюється порівняння, називають базисним. Так, в індексах динаміки базисним є показник одного із попередніх періодів (моментів) часу, в індексах виконання плану — запланований рівень, а в індексах порівняння в просторі базисним може бути показник, що належить до якось об'єкту або території.

У разі застосування індексного методу аналізу бажано дотримуватись відповідних умовних позначень, які прийняті в теорії і практиці статистики. Показники базисного періоду мають у формулах підрядковий знак "О", а поточного — "І". Показники плану, стандарту, територій, об'єктів можуть позначатися підряд­ковими знаками у вигляді їх скорочених назв або окремих літер.

В статистиці прийняті такі основні умовні позначення показників, зміна яких вивчається за допомогою індексів:

q - кількість проданого товару (чи обсяг виготовленої продукціі) в натуральному вираженні,

р - ціна одиниці товару чи продукції,

Z — собівартість одиниці продукції,

t — затрати робочого часу на виробництво одиниці продукції даного виду, тобто її трудомісткість,

У — урожайність певної культури,

П - розмір посівної площі

Виходячи з цих позначень, а також змісту ряду економічних показників, можна записати, що

рq — загальна вартість проданого товару, тобто товарообіг, або вартість виготовленої продукції,

zq - загальні затрати на виробництво продукції,

tq - загальні затрати робочого часу на виробництво продукції,

УП — валовий збір певної сільськогосподарської культури

Символи p та q не випадкові, вони відповідають початковим літерам англійських слів price (ціна) та quantiti (кількість).

Індивідуальні та загальні індекси позначимо відповідно символами і та І.

Показник, динаміку чи співвідношення якого характеризує індекс, називають Індексованою величиною. Відповідно до наданих умовних позначень індексована величина вказується біля позначення індексу у вигляді підрядкового знаку.

Методологічні підходи до побудови різних видів індексів розглянемо на прикладі індексів динаміки.

Оскільки індивідуальні індекси характеризують зміну одного елемента сукупності, то в будь-якому індивідуальному індексі порівнюються дві величини, які стосуються або різних періодів часу, або різних об'єктів, або планового завдання і фактичного виконання.

Індивідуальний індекс фізичного обсягу товару (продукції):

Індивідуальний індекс цін:

Індивідуальний індекс собівартості продукції

Індивідуальний індекс врожайності:

За такою схемою створюють індивідуальні індекси інших оз­нак. Методологія обчислення індивідуальних індексів дуже проста.

Індивідуальні індекси в статистичній практиці застосову­ються дуже часто. Проте більш поширені в економічному аналізі індекси, які характеризують зміни не окремого елемента складного явища, а всього явища в цілому. Для цього обчислюють за-гальні (групові) індекси.

Загальні індекси характеризують співвідношення явищ (сукупностей), що складаються з окремих несумірних елементів, які не можна безпосередньо підсумовувати. Вони узагальнюють зміни всієї сукупності елементів складного суспільного явища (наприклад, цін багатьох товарів, кількості різних видів продукції).

В залежності від наявних даних загальні індекси можуть обчислюватись у формі агрегатного або середнього індексу.

Агрегатний індекс є основною формою загальних індексів. Він уявляє собою відношення сум добутків індексованих величин та їх співвимірників. Таким чином, в агрегатному індексі є дві величини: одна — індексована, тобто величина, зміну якої визначають індексом, і друга — співвимірник або вага, тобто ознака, яку застосовують як постійну величину. Суми добутків індексованих величин та їх співвимірників утворюють з'єднання, або агрегати (від латинського aggrego — приєдную). В агрегатних індексах суми в чисельнику і знаменнику відрізняються тільки індексованими величинами, а співвимірники (ваги) незмінні.

У вітчизняній статистичній практиці прийнято: при побудові індексів якісної ознаки ваги фіксують на рівні звітного періоду; у разі побудови індексів об'ємних ознак — ознаки-співвимірники фіксують на рівні базисного періоду. Це зумовле­но тим, що кожен із співмножників відіграє різну роль. Якщо незмінним є екстенсивний (об'ємний) показник, то він виступає в ролі ваги, а якщо якісний (інтенсивний) — то в ролі співвимірника.

Усі загальні індекси інтенсивних (якісних) показників будуються так, як індекс цін, а екстенсивних (об'ємних) — як індекс фізичного обсягу. Тому якщо будь-який з інтенсивних показників позначити через х, а екстенсивний w, то в загальному вигляді всі загальні індекси (двофакторні) набувають такого вигляду:

Перший індекс I_x -це загальний індекс інтенсивного показ­ника, скажімо, цін, собівартості, врожайності, матеріаломісткості. Він характеризує зміну інтенсивного показника в середньому стосовно певного набору товарів, продукції, посівних площ. Можливість цього досягається зважуванням — множенням рівнів індексованого інтенсивного показника на значення пов'яза­ного з ним екстенсивного показника (ваги), який фіксується в чи­сельнику і знаменнику на одному й тому самому рівні.

Другий індекс I_w — це загальний індекс екстенсивного (об'ємного) показника. Оскільки в ньому можуть бути використані різні співвимірники, що пов'язані з індексованим екстенсивним показником, то виникає питання, якому з них віддати перевагу. Це можуть бути такі інтенсивні (якісні) показники, як ціна, собівартість, матеріаломісткість чи трудомісткість продукції, врожай­ність.. В кожному конкретному випадку питання вирішується окре­мо і залежить від мети дослідження та характеру вихідних даних.

Третій індекс I_xw характеризує зміну складного суспільного явища за рахунок обох факторів — інтенсивного і екстенсивного показника.

Індексовані величини у формулі зазвичай пишуть на першому місці після знаку Е, а співвимірник (вагу) на другому. Загальний індекс позначають буквою / і супроводжують підрядковим знаком індексованого показника.

Методику побудови загальних індексів розглянемо на прикладі формул загальних індексів фізичного обсягу товарообігу, цін та товарообігу у фактичних цінах:

1. Загальний індекс фізичного обсягу товарообігу

Цей індекс показує, як змінився обсяг проданих товарів у звітному періоді порівняно з базисним. Чисельник індексу Eq,p₀—це вартість проданих товарів (товарообіг) звітного періоду у цінах базисного періоду, а знаменник Eq₀p₀ — вартість проданих товарів (товарообіг) базисного періоду. За такою ж формулою виз-начається індекс фізичного обсягу виготовленої продукції, але він ха­рактеризує зміну обсягу виготовленої продукції у незмінних (базис-них) цінах. Відповідно Eq₁р_o — це вартість продукції, виготовленої у звітному періоді, але в цінах базисного періоду, a Eq₀p₀ вартість виготовленої продукції базисного періоду.

2. Загальний індекс цін

При побудові індексу цін індексованою величиною є ціна, а кількість проданих товарів — це вага, яка фіксується на рівні звітного періоду. За цієї умови індекс цін характеризує зміну ціп декількох видів товарів у звітному періоді порівняно з базисним.

Різниця між чисельником і знаменником цього індексу показує реальну економію, яку отримає населення у разі зниження цін, або додаткові витрати, якщо ціни зростуть.

3. Загальний індекс товарообігу у фактичних цінах

Цей індекс характеризує зміну товарообігу під впливом зміни цін на товари і зміни кількості проданих товарів. Форму обчислення наведених трьох індексів називають агрегатною. Це узагальнюючі показники, за допомогою яких можна охарактеризувати динаміку того чи іншого суспільно-економічного явища. Аналогічно до обчислених індексів будуються формули інших показників. Наприклад, для вивчення динаміки собівартості продукції (z), фізичного обсягу продукції (q) та затрат на виробництво (zq) використовують такі формули:

Індекс собівартості продукції

Індекс фізичного обсягу продукції

Індекс затрат на виробництво

Важливе місце в статистичному аналізі займають показники продуктивності праці. В статистичній практиці можуть застосовуватись прямі показники продуктивності праці — виробництво продукції за одиницю робочого часу (виробіток), та обернені — затрати робочого часу на виготовлення одиниці продукції (трудомісткість). Якщо в аналізі використовується останній показник продуктивності праці, то індивідуальний індекс обчислюється за формулою:

тобто зміна продуктивності праці при виготовленні окремих видів продукції визначається як відношення трудомісткості продукції базисного періоду до трудомісткості звітного (поточного) періоду. Тоді загальний індекс продуктивності праці за агрегатною формою буде мати такий вигляд:

Зростання або зниження трудомісткості визначимо як:

а продуктивності праці як:

3. Середньозважені індекси

Загальний індекс в агрегатній формі найчіткіше розкриває економічний зміст досліджуваного явища і є основною формою економічних індексів в статистиці. Але знаходження агрегатних індексів потребує наявності абсолютних значень індексованої величини і величини, за допомогою якої досягається порівню-ванність рівнів явищ, окремі елементи яких безпосередньо не підсумовуються, тобто ваг індексів чи їх співвимірників. Проте не завжди такі показники є в звітності. Наприклад, у роздрібній торгівлі немає кількісного обліку реалізованих товарів, обліковують лише обсяг товарообігу і зміну цін на окремі товари чи їхні товарні групи. Це не дає змогу розрахувати загальні індекси цін і фізичного обсягу безпосередньо в агрегатній формі в зв'язку з тим, що не можна отримати суму товарообігу Еq₀p₁. У таких випадках загальні індекси обчислюють як середні з індивідуальних індексів окремих елементів.

Агрегатний індекс перетворюють у середній з індивідуальних індексів, підставляючи у чисельник або знаменник агрегатного індексу замість індексованого показника його вирач, який виводиться з формули відповідного індивідуального індексу. Якщо таку заміну роблять у чисельнику, то агрегатний індекс перетвориться у середній арифметичний, якщо ж у знаменнику в середній гармонічний.

Перетворення агрегатного індексу у середній арифметичний розглянемо на прикладі індексу фізичного обсягу товаро-обігу. З формули індивідуального індексу фізичного обсягу:

випливає, що q₁ = i_q* q₀. Підставивши у чисельник агре-гатного індексу фізичного обсягу замість q_t величину і_qq₀, яка йому дорівнює, дістанемо середній арифметичний Індекс фізичного обсягу товарообігу:

Отже, ми дістали середню арифметичну з індивідуальних індексів, зважених за вартістю реалізованих товарів базисного періоду.

Щоб перетворити агрегатний індекс цін у середній гармонічний, треба в знаменнику агрегатного індексу замінити р₀ на р₁/і_р, що витікає з формули індивідуального індексу цін:

а чисельник залишити без зміни.

Формула середнього гармонічного індексу цін матиме такий вигляд:

Цей індекс являє собою середню гармонічну, в якій осеред-нюваною величиною є індивідуальний індекс цін, а вагою товарообіг звітного періоду.

Середньозважені індекси мають певну перевагу перед агрегатними, за їхньою допомогою можна вишикувати ієрархію індексів від індивідуальних на окремі товари через групові (субін-декси) до загального по всій сукупності елементів. Проте їм влас-тиві й недоліки. Якщо динаміка окремих складових сукупності протилежна, то загальний індекс не в змозі адекватно відобрази-ти закономірність динаміки. Окрім того, середньозважений індекс визначається лише за умови порівнянності кола елементів. Якщо ж окремі елементи сукупності відсутні в базисному чи поточному періоді, то розрахунок за індивідуальними індексами неможли вий. У цьому разі перевага надається індексу агрегатної форми

Отже, за кожним індексом стоїть певне економічне явище, що зумовлює методику його розрахунку та змістовність.

4. Системи взаємозалежних індексів і визначення впливу окремих факторів

Розглянуті загальні індекси узагальнюють динаміку складних сукупностей. Не менш важливою в статистичному аналізі є інша функція індексів — аналітична, яка спирається на взаємозв'язок індексів.

Зв'язок соціально-економічних явищ і процесів знаходить своє відображення у взаємозв'язку відповідних показників. Так, ряд економічних показників можна подати як добуток кількох інших. Це мультиплікативна форма зв'язку. Наприклад, загальні витрати часу на виробництво продукції можна виразити як добуток трудомісткості і кількості виготовленої продукції; товарообіг — як добуток ціни на обсяг проданих товарів; валовий збір сільськогосподарських культур — як добуток врожайності і посівних площ та ін. Співмножники в подібних випадках виступають як факторні показники, від величини яких залежить результат.

У зв'язку з цим при аналізі динаміки соціально-економічних явищ виникає потреба визначити роль окремих факторів у зміні результативного показника, що має досить істотне практичне значення. Так, з економічної точки зору, не байдуже, за рахунок чого збільшились загальні витрати на виробництво: зростання собівартості, тобто інтенсивного фактора, чи збільшення кількості виробленої продукції, тобто екстенсивного.

Індексний метод широко використовують для аналізу ролі окремих факторів у динаміці складного економічного явища, зміна якого зумовлена дією кількох факторів, які правлять за співмножники. Виявлення і кількісна оцінка впливу окремих факторів на зміну складного явища — одне із важливих завдань, котрі вирішують індексним методом.

Оцінка впливу окремих факторів на динаміку складного явища може бути здійснена як у відносному, так і в абсолютному вираженні. Оцінити вплив кожного з факторів означає обчисли­ти індекси факторних показників відповідної системи співзалеж-них індексів. У загальному вигляді всі двофакторні індекси поєднані так:

Звідси, індекс цін пов'язаний з індексом фізичного обсягу товарообігу (якщо мова йде про роздрібні ціни і реалізацію товарів) або фізичного обсягу продукції (якщо мова йде про ціни виробника і виробництво продукції), утворюючи таку індексну систему:

Добуток індексу цін на індекс фізичного обсягу товарообігу або продукції дає індекс товарообігу у фактичних цінах, або індекс вартості виготовленої продукції.

Індекс собівартості виготовленої продукції пов'язаний з індексом фізичного обсягу продукції по собівартості і утворює таку індексну систему:

Добуток індексу собівартості на індекс фізичного обсягу продукції дає індекс затрат на виробництво.

Індекс продуктивності праці (за трудовими затратами) пов'язаний з індексом фізичного обсягу продукції (за трудовими затратами) і утворює таку індексну систему:

Відношення індексу фізичного обсягу продукції до індексу трудових затрат дорівнює індексу продуктивності праці (за тру-довими затратами).

Кожен із факторних індексів характеризує відносну зміну результативного показника за рахунок окремих факторів. Визна­чення абсолютного приросту результативного показника за ра­хунок зміни кожного фактора теж здійснюється при побудові системи індексів. Абсолютні прирости за рахунок окремих факторів обчислюють як різницю між чисельником і знаменником відповідних факторних індексів. Так, загальний абсолютний приріст дорівнює:

Його можна розкласти за факторами:

5. Індекси з постійними і змінними вагами

При вивченні динаміки діяльності підприємств і ор­ганізацій виникає необхідність визначити індекси більше, ніж за Два періоди. У таких випадках індекси можна розраховувати як на постійній, так і на змінній базах порівняння.

Якщо характеризують зміну явища у всіх наступних періодах порівняно з першим, то обчислені індекси є базисними індексами.

Коли ж характеризують послідовну зміну досліджуваного явища період за періодом, тобто кожен наступний період порів­нюють з кожним попереднім, то такі індекси називаються ланцюговими.

Якщо позначити індексовані величини через а (ціна, кількість проданого товару (виготовленої продукції) певного виду, собівартість продукції тощо), то формули індивідуальних індексів матимуть такий вигляд:

Між ланцюговими і базисними індексами існує певний зв'язок, що дозволяє здійснити перехід від одного виду індексу до іншого. Так, послідовне перемноження ланцюгових індексів дає базисний індекс відповідного періоду. У загальному вигляді цс можна записати так:

І навпаки, за співвідношенням базисних індексів можна обчислити відповідні ланцюгові індекси.

При побудові індексних рядів загальних індексів постійною або змінною може бути не лише база порівняння, а й ваги (співвимірники) індексів. Як приклад наведемо ряди індексів цін:

• базисні індекси з постійними вагами:

• базисні індекси зі змінними вагами:

• ланцюгові з постійними вагами:

• ланцюгові індекси зі змінними вагами:

Теоретично будь-який ряд можна використати для аналізу динаміки. Практично більш поширені індекси з постійними вагами, оскільки вони усувають вплив структурних зрушень на вели­чину індексу. Окрім того, в індексних рядах з постійними вагами можна здійснити перебазування — перейти від ланцюгових індексів до базисних, і навпаки. В індексних рядах зі змінними ва­гами перебазування індексів неможливе.

На основі індексних рядів провадиться моніторинг динамічних процесів, зокрема цін, кон'юнктури ринку цінних паперів, рівня заробітної плати тощо. На підставі аналізу індексних рядів здійснюються прогнози щодо розвитку соціально-економічних явищ і процесів.