ТЕМА 5 середні величини

1. Поняття про середні величини та їх значення в статистиці.

2. Види середніх величин.

3. Середня арифметична проста і зважена.

4. Математичні властивості середньої арифметичної. Обчислення середньої методом моментів.

5. Середня гармонічна та умови її застосування.

6. Середня прогресивна.

7. Структурні середні.

1. Поняття про середні величини та їх значення в статистиці

Серед узагальнюючих показників, якими статистика характеризує суспільні явища та властиві їм закономірності, важлива роль належить середнім величинам. Досліджувані статистикою суспільні явища, як правило, мають масовий характер, а розміри тієї чи іншої ознаки окремих одиниць статистичної сукупності — різне кількісне значення, тобто їм властива мінливість. Мінли­вість ознак статистичної сукупності залежить від конкретних умов і чинників, які впливають на ту чи іншу ознаку. Варіація ознак і є тією причиною, яка зумовлює необхідність вдаватися до розрахунку середніх величин.

Метод середніх величин — це один із найпоширеніших статистичних прийомів узагальнення. Важливість середніх величин для статистичної практики і науки відзначалась у працях багатьох вчених. Зокрема, англійський економіст В. Петті (1623-1667) при вивченні економічних проблем широко використовував се­редні величини. Він вважав сталість середньої величини як відоб­раження закономірності досліджуваних явищ.

Теоретичні розробки бельгійського статистика А. Кегле (1796-1874) внесли значний вклад у розробку теорії сталості ста­тистичних показників. Згідно з Кегле, постійні причини діють однаково на кожне досліджуване явище, І саме вони роблять ці явища схожими один на одного, створюють загальні для всіх них закономірності. Наслідком вчення А.Кетле про загальні та Індивідуальні причини стало виділення середніх величин в якості Основного методу статистичного аналізу. Він підкреслював, що статистичні середні являють собою не просто метод математичного вимірювання, а й категорію об'єктивної дійсності.

Англійський статистик А.Боулі (1869-1957), який є відомим теоретиком нового часу у галузі теорії середніх величин, визначив значення середніх або, за його виразом, "їх функцію". Він писав, що функція середніх зрозуміла: вона полягає в тому, щоб виразити складну групу за допомогою небагатьох простих чисел. Розум не в стані охопити сотні тисяч статистичних даних, вони повинні бути згруповані, спрощені, приведені до середніх.

У наступні роки середня величина все частіше розглядається як соціально значуща характеристика, інформативність якої залежить від однорідності даних. Правильне розуміння суті середньої величини визначає її особливу значимість в умовах ринкової економіки, коли середня величина через одиничне і випадкове дозволяє виявити загальне і необхідне, виявити тен­денцію закономірностей економічного розвитку.

Середня величина — це узагальнююча характеристика сукупності однотипних одиниць за певною кількісною ознакою. Вона характеризує типовий рівень варіюючої ознаки і відображає те спільне, характерне, що об'єднує всю масу елементів, тобто статистичну сукупність. За допомогою середньої величини відбувається згладжування відмінностей величини ознаки, які виникають з тих чи інших причин в окремих одиниць спостережен­ня. Наприклад, середній виробіток робітника залежить від багатьох факторів: кваліфікації, стажу роботи, віку, організації виробничого процесу тощо. Середній виробіток відображує загальну властивість всієї сукупності.

Середня величина — величина абстрактна, тому що характеризує значення ознаки абстрактної одиниці і може не збігатися з жодним з індивідуальних значень ознаки. Абстрагуючись від індивідуальних особливостей окремих елементів, можна виявити те загальне, типове, що притаманне всій сукупності в конкретних умовах місця і часу.

Проте слід пам'ятати, що середня відображає типовий рівень ознаки лише в тому випадку, коли статистична сукупність, за якою вона обчислюється, якісно однорідна. Це одна з основних умов наукового застосування середніх у статистиці. Саме тому застосування методу середніх в статистиці пов'язують з мето­дом групування. Крім того, типовий рівень ознаки, що вивчається, проявляє себе лише у випадку узагальнення масових фактів. В разі узагальнення масових фактів випадкові відхилення індивідуальних величин від загальної тенденції взаємно погашаються в середній величині. Ця вимога стосовно обчислення се­редніх величин пов'язує метод середніх із законом великих чисел.

Обчислення середніх величин є складовою частиною багатьох статистичних методів: групувань, рядів динаміки, індексних розрахунків, показників варіації, вибіркового методу та ін. За допомогою середніх величин проводять порівняльний аналіз у часі і просторі, вивчають тенденції та закономірності розвитку явищ, їх інтенсивність та характер коливань, досліджують зв'язки і залежності між явищами.

Критерієм розрахунку середньої величини є правильний вибір початкової бази обчислень, яка відображає зміст середньої величини та її зв'язок з іншими показниками. Розрахунок сеедніх величин повинен бути підпорядкований соціально-економічному змісту явищ, реально відображати істотну характеристику суспільного явища.

Виходячи з того, що середня величина характеризує розмір ознаки в розрахунку на одну одиницю, існує взаємозв'язок між середньою величиною і показниками, які потрібні для її визначення. Розглянемо приклади логічних формул деяких середніх:

Побудова таких співвідношень є базою для розрахунку се-редніх величин. Чисельник логічної формули являє собою обсяг значень варіюючою ознаки (визначальну властивість), а знамен- Іщг — обсяг сукупності. Як правило, визначальна властивість—це реальна абсолютна або відносна величина, яка має самостійне значення в аналізі. Крім того, спосіб розрахунку залежить від харате-йу вихідної інформації. У кожному конкретному випадку для реалізації логічної формули використовується певний вид середньої.

2. Види середніх величин

В практиці статистичної обробки інформації в залежності від особливостей досліджуваних явищ застосовуються різні види середніх величин.

Середні величини в статистиці належать до класу степеневих середніх, які описує формула:

де х — рівень ознаки, варіанти; n — число варіантів; m — по­казник степеня середньої.

Зміна степеня середньої величини визначає її вигляд:

при т = 1 — середня арифметична;

при m = 0 — середня геометрична;

при т = -1 — середня гармонічна;

при т = 2 — середня квадратична;

при т = 3 — середня кубічна.

Із степеневих середніх у статистиці найчастіше використо­вують середню арифметичну, рідше — середню гармонічну, середню геометричну — тільки для обчислення середніх темпів динаміки, а середню квадратичну — для розрахунків показників варіації. Середню кубічну для статистичних розрахунків майже не використовують.

Залежно від характеру вихідної інформації середня будь-якого виду може бути простою чи зваженою. Середня величина позначається x^- (риска над символом означає осереднення індивідуальних значень) і має таку саму одиницю вимірювання, як і індивідуальна ознака.

Питання про те, який вид середньої слід використати в кожному окремому випадку, вирішується шляхом конкретного аналізу досліджуваної сукупності і визначається матеріальним змістом досліджуваного явища.

3. Середня арифметична проста і зважена

Одним із найпоширеніших видів середніх величин є середня арифметична, її застосовують в тих випадках, коли обсяг варіаційної ознаки для всієї сукупності формується як сума значень ознаки окремих одиниць досліджуваної сукупності.

Середня арифметична може бути простою і зваженою.

Наведена формула має назву середньої арифметичної простої і застосовується тоді, коли розрахунок здійснюють на основі первинних, не згрупованих даних. Проте в практиці аналітичної роботи нерідко виникає потреба розрахувати середні величини на основі згрупованих даних, передусім даних варіаційного ряду розподілу.

При обчисленні середньої за даними варіаційного ряду розподілу для визначення загального обсягу ознаки слід кожну з варіант помножити на частоту і отримані результати додати. Таке множення варіантів на їхні частоти в статистиці називають зважуванням, а обчислена в такий спосіб середня — середньою арифметичною зваженою.

Якщо частоту (вагу) позначити f то формула середньої арифметичної зваженої матиме такий вигляд:

В таких випадках для обчислення середньої величини спо-чатку потрібно перетворити інтервальний ряд на дискретний, для чого треба визначити середнє значення інтервалу кожної гру-пи (центр інтервалу).

Середнє значення інтервалу дорівнює півсумі його верхньої та нижньої меж:

Таким чином, для обчислення середньої арифметичної зваженої виконуються такі послідовні операції: знаходження добутків варіантів та їх частот, додавання одержаних добутків, ділення суми добутків на суму частот.

Частоти варіантів можуть бути не тільки абсолютними величинами, а й відносними у вигляді часток або відсотків.

Середня арифметична зважена застосовується у тих випадках, коли варіанти мають різні частоти. Використання незваже-ної середньої у таких випадках неприпустимо, тому що це неминуче призводить до викривлення статистичних показників.

Часто середні величини обчислюють за даними не тільки дискретних, а й інтервальних рядів розподілу, коли варіанти ознаки подають у вигляді інтервалу (від... до).

Якщо в рядах розподілу є відкриті інтервали, то в таких рядах величина інтервалу першої групи умовно дорівнює величині інтервалу наступної групи, а величина інтервалу останьої групи — величині інтервалу попередньої групи.

4. Математичні властивості середньої арифметичної Обчислення середньої арифметичної способом моментів

Середня арифметична має певні математичні властивості, використання яких дає можливість значно спростити її обчислення. Розглянемо найважливіші з цих властивостей.

1. Добуток середньої на суму частот завжди дорівнює сумі добутку варіантів на частоти, тобто

2. Якщо від кожної варіанти відняти або додати будь-яке довільне число, то добута середня зменшиться або збільшиться на таке саме число, тобто

3. Якщо всі варіанти збільшити (зменшити) в і разів, то середня арифметична збільшується (зменшується в стільки ж разів, тобтоВикладені вище властивості середньої арифметичної дають можливість в багатьох випадках суттєво спростити її обчислення і, особливо, при розрахунках з великими числами або при ве­ликій їх кількості.

На підставі другої та третьої властивостей можна:

• відняти від кожної варіанти стале число, найкраще
вибрати варіанту з найбільшою частотою;

• поділити всі варіанти на стале число, переважно за
таке беруть інтервал.

Обчислення середньої арифметичної за вказаним способом дістало в статистиці назву способу відліку від умовного нуля, або способу моментів.

Обчислення середньої способом моментів використовують у рядах з рівними інтервалами і розрахункова формула має такий вигляд: х ⁼ т₁i ⁺ А, де момент першого порядку обчислюють за формулою:

4. Алгебраїчна сума відхилень окремих варіант ознаки від середньої дорівнює нулю.

5. Сума квадратів відхилень окремих варіант ознаки від середньої менша, ніж від будь-якої іншої величини.

6. Якщо всі частоти поділити чи помножити на будь-яке число, то середня арифметична від цього не зміниться.

5. Середня гармонічна та умови її застосування

Характер первинних статистичних даних у деяких випадках виключає застосування середньої арифметичної. Поряд із се­редньою арифметичною в статистичних дослідженнях використовують інші види, зокрема, середню гармонічну.

За своїми властивостями середню гармонічну можна засто­совувати тоді, коли загальний обсяг ознаки формується як сума зворотних значень варіантів.

Середня гармонічна — це величина, обернена середній арифметичній з обернених значень ознаки. За змістом середня гармонічна — це перетворена середня арифметична зважена, її використовують тоді, коли показники частоти (f), які виступають статистичною вагою, відсутні, але відомі добутки ознаки (х) на ваги (f, тобто показник w (w = хf).

Формула середньої — це лише математична модель логічної формули показника. Важливий методологічний принцип вибору виду середньої полягає в тому, аби розрахунок забезпечив логіко-змістовну суть показника (логічну формулу). Цей принцип є основним критерієм оцінки правильності рішень.

Отже, якщо крім значень ознаки відомі значення знаменника логічної формули (частоти), то середню розраховують за формулою арифметичної. А коли знаменник невідомий, використовується формула середньої гармонічної. Це правило, хоча й формальне за характером, забезпечує обґрунтований вибір, який узгоджується з логічною формулою.

6. Середня прогресивна

У практиці планування, розрахунку нормативів часто вдаються до визначення середньої прогресивної. Відомо, що при обчисленні загальної середньої для розрахунку беруть всі варіанти. При розрахунках середньої прогресивної враховують тільки кращі показники з точки зору інтересів виробництва.

Для обчислення середньої прогресивної діють таким чином. З усього ряду варіант (значень ознаки) будують ранжирова-ний ряд і знаходять їх середнє значення, яке ділить ряд на дві частини: частина значень ряду нижче загальної середньої і частина ряду вище загальної середньої.

При обчисленні середніх прогресивних можливі два випадки:

Перший випадок. Кращими будуть показники ранжирова­ного ряду, які є вищими від загальної середньої. Наприклад: уро­жайність, денний виробіток робітника, рентабельність.

У цьому випадку середню прогресивну визначають так:

• з усіх варіант (у) визначають загальну середню (x^-);

• відбирають кращі індивідуальні показники, тобто ті, які перевищують загальну середню;

• за кращими показниками обчислюють нову середню, яка і буде середньою прогресивною (x^-').

Другий випадок. Характер показників такий, коли кращими будуть показники ранжированого ряду, які знаходяться нижче від загальної середньої.

7. Структурні середні величини

Середні арифметична і гармонічна є узагальнюючими ха­рактеристиками сукупностей за тією чи іншою варіаційною озна­кою. Водночас структуру цих сукупностей характеризують особливими показниками, які називають у статистиці структурними або порядковими середніми величинами. Зокрема, це мода і медіана.

Мода (Мо) — це та варіанта, яка найчастіше повторюється в даній сукупності. Моду широко використовують у комерційній діяльності і в соціологічних дослідженнях, коли вивчають ринковий попит, реєструють рівень цін, встановлюють рейтинг популярності осіб чи товарів тощо.

Медіаною (Ме) в статистиці називають варіанту, що є серединою впорядкованого варіаційного ряду розподілу, тобто ділить його на дві рівні частини: одна частина має значення варіюючої ознаки менше ніж середня, а друга — більше.

Мода і медіана, на відміну від степеневих середніх, є конкретними характеристиками варіаційного ряду, мають певні значення, і тому їх ще називають описовими характеристиками. Описові характеристики завжди відповідають певній варіанті. Мода і медіана не є типовими характеристиками для дослідження однорідних сукупностей з великою чисельністю одиниць.

Знайти моду і медіану в дискретному ряді розподілу не становить труднощів, оскільки варіанти відповідають конкретним значенням ознаки (певним числам).

Інколи трапляються ряди розподілу, в яких не один, а дві варіанти однаково модальні, тобто мають найбільші частоти. Це означає, що є дві моди — розподіл бімодальний. Такі розподіли вказують на якісну неоднорідність сукупності за досліджуваною ознакою.

Медіану у дискретному ряді розподілу визначають за номером медіани, який визначається за формулою:

В тому випадку, коли сума частот є парне число, і номер медіани відповідно є дробовим числом, то медіана лежить у середині сусідніх варіантів.

Отже, у дискретному варіаційному ряді дуже просто знаходити моду і медіану. В інтервальному ряді розподілу для наближеного визначення моди і медіани в межах певного інтервалу застосовують спеціальні розрахунки та відповідні формули.

Для знаходження модальної величини, що міститься в певному інтервалі, формула має такий вигляд:

Медіана в інтервальному ряді розподілу визначається за формулою:

Медіана не залежить ні від амплітуди коливань ряду, ні від розподілення частот у межах двох рівних частин ряду, її обчислюють для вирішення окремих завдань, пов'язаних із визначен­ням оптимуму, який співпадає з варіантою, що припадає на середину ряду.

Для обчислення медіани спочатку в інтервальному ряді роз­поділу визначають медіанний інтервал. Він відповідає такому, кумулятивна частота якого дорівнює чи перевищує номер медіани.

Величина моди і медіани, як правило, відрізняється від величини середньої і співпадає з нею тільки у випадку симетрії варіаційного ряду. Це пояснюється тим, що на величину моди і медіани не впливають значення варіант, не характерних для даної сукупності, скажімо, надмірно малі чи надмірно великі. При обчисленні середньої арифметичної до уваги беруться усі без винятку варіанти. Саме через це мода і медіана в окремих випадках мають свої переваги перед середньою арифметичною і використовуються при вирішенні деяких практичних завдань. Так, при плануванні обсягу виробництва, наприклад, швейної фабрики, орієнтуються не на середній розмір костюмів, а на найбільш "ходовий", тобто модальний. При виборі місця розташування заготівельного пункту зерна в тому чи іншому районі лише медіана визначить "точку", що дає найменшу відстань від всіх сільськогосподарських підприємств, які мають здавати зерно саме в цей пункт.