Лабораторная работа № 3. Обратная задача магниторазведки для сложного объекта (с использованием параметра регуляризации)

Обратная задача магниторазведки для сложного объекта (с использованием параметра регуляризации)

Анализируя результаты вычислений магнитной восприимчивости, полученные в предыдущей работе, мы видим, что они не соответствуют таковым и далеки от истинных, а часто могут принимать значения противоречащие реальным условиям. В связи с этим данный вариант решения является не приемлемым. Подобные задачи, с точки зрения математической физики относятся к числу не устойчивых обратных задач грави-магниторазведки [ ].

При решении аналогичных задач грави-магниторазведки предлагается [ ], использовать математическую процедуру, нацеленную на регуляризацию решения. Она заключается в том что, к информационной матрице Фишера - (A^T∙A), входящей в состав (2.3), прибавляется некая квадратная диагональная матрица, той же размерности, с целью выведения первой из области неустойчивости.

Решение в этом случае записывается в следующем виде:

χ _р = (A^T∙A + α_р∙Е)^-1∙(A^T∙Z+ α_р∙ χ_о), (3.1)

где Е – квадратная единичная диагональная матрица, размерность которой должна соответствовать размерности матрицы-(A^T∙A); χ_о- вектор содержащий значения предполагаемого решения; α – коэффициент, изменяющийся следующему правилу: α_р+1= α_р∙μ, α₀-начальное значение равное например 10⁴ или 10¹⁰, число μ<1, количество вариантов решения р=0… m, m может изменяться в диапазоне (ориентировочно) от 30 до 100; остальные обозначения те же, что и в (2.3).

Из этого условия следует, что χ_р- результирующая матрица размерностью (k x p), столбцы которой содержат варианты решения.

С целью выбора наиболее приемлемого варианта решения обратной задачи, следует для каждого варианта решения рассчитать, с одной стороны, значения среднеквадратических ошибок – ε_р, с другой – значения так называемой функции цели (или отклика) –S_р.

Среднеквадратическая ошибка рассчитывается по следующей формуле:

, (3.2)

где, χ_j,р – вычисленные по (3.1), а χ_ист,j – истинные значения магнитной восприимчивости, их величины приведены в первой лабораторной работе, таблица 1.

Расчет функции цели ведут по формуле:

, (3.3)

где, Z ^т_j,р – теоретически рассчитанные значения вертикальной составляющей магнитного поля для каждого варианта решения- χ _р, а Z_j – истинные магнитного поля (см, результаты первой лаб. работы).

Значения Z ^т_j,р следует вычислять по формуле (1.1), используя при этом каждый раз, соответствующие величины магнитной восприимчивости -χ _р.

По результатам расчетов ε_р и S_р построить графики зависимости этих величин от α_р, или просто от р. Выбрать один из вариантов решения, руководствуясь следующими правилами. Значения ε_р и S_р должны быть с одной стороны, минимальными, но соизмеримыми с практическими значениями таковых. С другой - значения ε_р и S_р должны быть устойчивыми [ ].

В отчете по лабораторной работе привести все необходимые формулы, результаты расчетов и дать к ним определенные пояснения и комментарии. Все этапы расчетов иллюстрировать графически.