Решение обратной задачи для магнитного поля, не осложненного помехой

В данной лабораторной работе следует определить значения магнитной восприимчивости всех 15 шаров, входящих в состав «возмущающего» объекта (рис.1). В качестве исходных значений вертикальной составляющей магнитного поля - Z и известных параметров петрофизической модели, нужно использовать данные первой лабораторной работы, неизвестными или искомыми величинами считать значения магнитной восприимчивости всех 15 шаров.

Решение поставленной задачи следует осуществлять с учетом следующих условий. Первое, пусть нам известно распределение магнитного поля вдоль профиля на n=20 пикетах. Второе, предположим, что нам также известны (например, по данным бурения) все геометрические параметры объектов, т.е. глубины и радиусы всех 15 шаров, а также, что они имеют вертикальное намагничение, а центры шаров расположенных в вертикальном «пласте» проецируются в одну точку. В качестве искомых (неизвестных) оценок объекта будем считать значения магнитной восприимчивости – χ_j, всех 15 шаров.

Тогда, в этом случае, учитывая принцип суперпозиции и то, что магнитное поле является потенциальным, мы можем записать систему линейных уравнений вида:

................................ (2.1)

где, Z_i – значение магнитного поля на i-ом пикете, i = 1…..n, n=20; a_i.j – коэффициенты матрицы-плана - А, правило их вычислений будет рассмотрено отдельно; χ_j – вектор искомых оценок (значения магнитной восприимчивости), j=1…..k, k=15.

Для вычисления коэффициентов a_i.j матрицы А следует использовать формулу (2.2), подставляя в неё все необходимые параметры (радиус-R, глубина - h, координату центра шара - x, напряженность нормального магнитного поля –H). Индексы i и j – это номер пикета и номер объекта (шара), соответственно.

, где (2.2)

Система уравнений (2.1) составлена на основе того, что поле на любом i-ом пикете – Z_i, равно сумме полей от каждого j-го объекта. Но в таком виде система линейных уравнений не имеет права на решение. Т.е. мы не можем ставить знак равенства в этих уравнениях, в связи с тем, что мы не обладаем всей полнотой информации об исследуемом объекте и некоторые детали данной петрофизической модели нам неизвестны (например, наличие других неизвестных нам намагниченных тел в нашей модели), а следовательно мы не можем учесть их влияние в данной системе уравнений. По этому в каждом уравнении системы (2.1), следует добавить некоторое значение -δ_i, которое соответствует неизвестной нам ошибке.

................................ (2.2)

Полученная система линейных уравнений (2.2) решается на основе регрессионного анализа, по методу наименьших квадратов [ ], так как количество неизвестных параметров в этой системе всегда больше числа уравнений. Не углубляясь в детали, скажем лишь, что для нахождения неизвестных значений χ₁ , χ₂ , χ₃ …. χ_k следует продифференцировать (2.2) по этим неизвестным, а производные приравнять к нулю. В результате получим систему из n нормальных уравнений.

В настоящее время наиболее распространенным является представление системы нормальных уравнений в матричной форме

χ = (A^T∙ A)^-1∙A^T∙Z, (2.3)

где А - план-матрица размерности n×k, Z – n-мерный вектор наблюденного магнитного поля; χ – вектор искомых оценок, значений магнитной восприимчивости, его размерность k; A^T- транспонированная матрица А.

Отметим что, выражение (A^T∙A) входящее в состав (2.3) называется информационной матрицей Фишера [ ]. Эта матрица – квадратная, анализ которой дает много полезной информации о структуре задачи, (A^T∙ A)^-1 обратная ей матрица.

В результате вычислений по (2.3) будут получены данные в виде вектор столбца из 15 значений, соответствующих магнитной восприимчивости 15 шаров.

С целью оценки точности, нахождения неизвестных значений магнитной восприимчивости следует провести их сравнение с истинными значениями таковых, с помощью вычисления среднеквадратической ошибки - ε, по формуле:

, (2.4)

где, χ_j - рассчитанные, а χ_ист,j – истинные значения магнитной восприимчивости, их величины приведены в первой лабораторной работе, таблица 1.

Значение среднеквадратической ошибки в данном случае не должно быть большим, так как для решения обратной задачи используется магнитное поле без помех, а с другой стороны так подобраны данные. Справедливости ради следует отметить, что даже и в этом случае решение может получиться не приемлемым или вообще отсутствовать, что связано с плохой обусловленностью (вырожденностью) матрицы А.