Нелинейная регрессия

Рассмотрим наиболее простые случаи нелинейной регрессии: гиперболу, экспоненту и параболу. При нахождении коэффициентов гиперболы и экспоненты используют прием приведения нелинейной регрессионной зависимости к линейному виду. Это позволяет использовать для вычисления коэффициентов функции регрессии формулы (29).

Гипербола. При нахождении гиперболы вводят новую переменную , тогда уравнение гиперболы принимает линейный вид . После этого используют формулы (29) для нахождений линейной функции, но вместо значений x_i используются значения

; .

При проведении вычислений во вспомогательную таблицу вносятся соответствующие колонки.

Экспонента. Для приведения к линейному виду экспоненты проведем логарифмирование

;

;

.

Введем переменные и , тогда , откуда следует, что можно применять формулы (29), в которых вместо значений y_i надо использовать ln y_i

; .

При этом мы получим численные значения коэффициентов b₀ и b₁, от которых надо перейти к a₀ и a₁, используемых в модели экспоненты. Исходя из введенных обозначений и определения логарифма, получаем

, .

Парабола. Для нахождения коэффициентов параболы необходимо решить линейную систему из трех уравнений

,

,

Оценка силы нелинейной регрессионной связи. Силы регрессионной связи для гиперболы и параболы определяется непосредственно по формуле (28). При вычислении коэффициента детерминации экспоненты все значения параметра Y (исходные, регрессионные, среднее) необходимо заменить на их логарифмы, например, - на и т.д.