Производственная ситуация

Цель – формирование навыков разработки прогноза на основе метода наименьших квадратов.

В таблице 6.1 приведена динамика объемов продаж торговой фирмы, млн. руб. Для выполнения задания группа разбивается на подгруппы по 2-3 человека. Каждой подгруппе преподавателем выдается индивидуальное задание.

Таблица 7.1 – Динамика объемов продаж зерновых, тыс.т.

Годы	Уфакт

Порядок выполнения задания:

1) составить систему уравнений для линейной функции и найти ее параметры;

2) рассчитать прогноз на 15-й – 19-й годы с применением уравнения прямой;

3) составить систему уравнений для функции параболы и найти ее параметры;

4) рассчитать прогноз на 15-й – 19-й годы с применением уравнения и параболы;

5) рассчитать сумму квадратичных отклонений по каждой функции;

6) выбрать функцию, наиболее соответствующую динамике исходного ряда;

7) построить на графике исходный ряд и полученные прогнозы. Дать оценку достоверности полученных прогнозов.

Методические указания по применению уравнения прямой:

Уравнение прямой целесообразно применять для обработки динамического ряда с равномерно возрастающими (убывающими) значениями величин.

Формула уравнения прямой:

У(t)=а₀+а_{1 ∙} t, (7.1)

где У(t) – прогнозное значение;

t – порядковый номер периода.

Система нормальных уравнений для прямой:

, (7.2)

где n –– количество точек (уровней) в ряду динамики;

а₀ и а₁ –– коэффициенты регрессии.

Учитывая, что в преобразованном динамическом ряду получим:

(7.3)

Найдя значение а₀ и а₁, можно построить уравнение прямой.

Подставляя в полученное уравнение значения t_i, принятые при преобразовании естественных значений исходного ряда, получим выровненный ряд динамики (расчетные значения У).

Присвоив t_i значения, выходящие за пределы исходного ряда, получим прогнозируемые значения исследуемого показателя.

Пример1. Применение уравнения прямой:

Исходные данные: В таблице 7.2 приведены объемы продаж продукции за 9 лет.

Таблица 7.2- Исходные данные

Годы	Объем продаж, тыс. руб.

Рассчитать прогноз на 10-й – 12-й годы методом наименьших квадратов, используя уравнение прямой.

Для составления системы линейных уравнений для прямой составим расчетную таблицу:

Таблица 7.3- Расчетные показатели

Годы	Уфакт	t	t 2	У ∙ t
		-4		-968
		-3		-753
		-2		-516
		-1		-260
Итого

Система уравнений для прямой будет иметь вид:

а₀ ∙9 = 2503

а₁ ∙60 = 647 (7.4)

Решив систему уравнений, получим параметры уравнения прямой:

У(t) = 278,1 + 10,8 t. (7.5)

Рассчитаем прогноз, используя полученное уравнение:

У₁₀ = 278,1 + 10,8 ∙ 5 = 332,1 = 332

У₁₁ = 278,1 + 10,8 ∙ 6 = 342.9 = 343

У₁₂ = 278,1 + 10,8 ∙ 7 = 353,7 = 354

Рассчитаем отклонение фактических значений исходного ряда от расчетных (выровненных) значений, вычисленных на основании уравнения (7.5). Для этого вместо t подставим в уравнение значения, присвоенные в таблице 7.3.

Расчеты выполним в таблице 7.4.

Таблица 7.4- Расчет выровненных значений для уравнения прямой

Годы	Уфакт	t	Урасч	Уфакт - Урасч	(Уфакт - Урасч)2
		-4
		-3
		-2
		-1		-7
				-9
				-15
Итого

Методические указания по применению уравнения параболы:

Если эмпирические данные показывают, что увеличение уровней ряда происходит быстрыми темпами и график приближенно может быть представлен в виде ветви параболы второго порядка, то в качестве уравнения у(t) берется уравнение:

У(t) = a₀ + a₁∙ t + a₂∙t² (7.6)

Параметры уравнения рассчитываются по такому же принципу, как и для линейного уравнения. Система нормальных уравнений в данном случае имеет вид:

a∙n+b∙St+c∙St² = Sy; (7.7)

a∙St+b∙St² +c∙St³ =Sy∙t;

a∙St²+b∙St³ +c∙St⁴ =Sy∙t²;

Для упрощения расчета необходимо t придать такие значения, чтобы St было равно 0.

a∙n +c∙St² = Sy;

b∙St² =Sy∙t;

a∙St²+c∙St⁴=Sy∙t²; (7.8)

Пример 2. Применение уравнения параболы:

Для составления системы линейных уравнений для параболы составим расчетную таблицу:

Таблица 7.5- Расчетные показатели для уравнения параболы

Годы	Уфакт	t	t 2	t 4	У ∙ t	У ∙ t 2
		-4			-968
		-3			-753
		-2			-516
		-1			-260
Итого

Система уравнений для параболы будет иметь вид:

а₀ ∙9 + а₂ ∙60 = 2503

а₁ ∙60 = 647

а₀ ∙60 + а₂ ∙708 = 17001

Решив систему уравнений, получим параметры уравнения параболы:

У(t)=271,3+10,8t + 1,0206 t²

Рассчитаем прогноз, используя полученное уравнение:

У₁₀ = 271,3+10,8 ∙ 5 + 1,0206 ∙25 = 350,8

У₁₁ = 271,3+10,8∙ 6 + 1,0206∙36 = 372,8

У₁₂ = 271,3+10,8∙ 7 + 1,0206 ∙49 = 396,9

Рассчитаем отклонение фактических значений исходного ряда от расчетных (выровненных) значений, вычисленных на основании уравнения (7.5). Для этого вместо t подставим в уравнение значения, присвоенные в таблице 7.2.

Расчеты выполним в таблице 7.6.

Таблица 7.6- Расчет выровненных значений для уравнения параболы

Годы	Уфакт	t	t 2	Урасч	Уфакт - Урасч	(Уфакт - Урасч)2
		-4			-3
		-3
		-2
		-1			-1
					-2
					-9
					-7
Итого

Суть метода заключается в выборе функции, наиболее соответствующей динамике исходного ряда. Критерием правильности выбора функции является минимум квадратичного отклонения расчетных показателей от фактических. Таким образом, сущность МНК состоит в нахождении параметров модели, соответствующих критерию S.

(7.10)

Согласно выполненным расчетам, критерию S в наибольшей степени отвечает уравнение параболы, т.к. имеет меньшую сумму квадратичных отклонений. Следовательно, прогноз, полученный на основе уравнения параболы, является более достоверным.

Рекомендуемая литература:

Основная [1,3]

Дополнительная [1,5]

Электронные ресурсы [1]