Лекция 5. Особенности фазовых портретов нелинейных систем

План лекции

1. Предельные циклы

2. Устойчивость в малом и большом

3. Фазовые портреты нелинейных систем с различным характером движений в малом и большом

4. Фазовый портреты с особым отрезком

Содержание лекции

Реальные системы автоматического управления можно считать линейными чаще всего в предположении малости отклонений переменных от их значений в определенном установившемся состоянии.

За пределами указанной области вследствие значительного отклонения характеристик от линейных картина фазовых траекторий может сильно измениться и стать качественно иной.

В частности, если по линейной теории система оказывается неустойчивой и процесс начинает расходиться, то может оказаться, что из-за фактической нелинейности характеристик он не будет расходящимся неограниченно. Амплитуда расходящихся колебаний может увеличиваться только до определенного значения, а затем оставаться постоянной, т.е. неустойчивая линейная автоматическая система как бы превращается в устойчивую нелинейную автоколебательную систему (система «генерирует» устойчивые колебания определенной формы).

Картина фазовых траекторий для такой системы изображена на рис.2.9. Здесь вблизи начала координат получаются спирали, как в неустойчивой линейной системе на рис.2.5, но далее все они расходятся не до бесконечности, а приближаются асимптотически к некоторому замкнутому контуру ограниченных размеров, как показано на рис.2.9. К нему же приближаются и все спирали, находящиеся вне контура. Это соответствует картине процессов во времени, изображенной на рис.2.4. Такого вида замкнутый контур, представляющий собой наиболее важный для теории тип особых линий на фазовой плоскости, называется устойчивым предельным циклом.

Рис.2.9. Фазовый портрет нелинейной системы

с устойчивым предельным циклом

Устойчивый предельный цикл соответствует автоколебаниям системы. Размеры предельного цикла А и В (рис. 2.9) представляют амплитуды колебаний самой величины x и скорости ее изменения y = dx / dt. Для определения периода автоколебаний надо обратиться к решению уравнений во времени.

Случаю устойчивости системы «в малом» и неустойчивости «в большом» соответствует картина фазовых траекторий, изображенная на рис. 2.10. Граница начальных условий, до которой система устойчива, чаще всего имеет на фазовой плоскости вид неустойчивого предельного цикла, от которого в обе стороны удаляются спиралевидные фазовые траектории. Это – второй важный тип особых линий, определяющий устойчивость системы «в малом» и неустойчивость «в большом».

Рис.2.10. Фазовый портрет нелинейной системы

с неустойчивым предельным циклом

Заметим, что в этом случае может быть также еще более удаленный устойчивый предельный цикл (рис. 2.11), соответствующий автоколебаниям с большой амплитудой.

Рис.2.11. Фазовый портрет нелинейной системы

с двумя предельными циклами

Такие же принципиальные качественные изменения картины фазовых траекторий при достаточно больших отклонениях могут наблюдаться и в случаях апериодических процессов (рис. 2.7 и 2.6), включая превращения их в колебательные процессы и наоборот. Примеры таких траекторий показаны на рис.2.12 и 2.13.

Рис.2.12. Фазовый портрет нелинейной системы с колебательными процессами в малом и апериодическими в большом

Аналогично для системы, находящейся согласно линейной теории на границе устойчивости (при чисто мнимых корнях), картина фазовых траекторий, изображенная на рис. 2.1, может иметь место лишь вблизи состояния установившегося режима. При больших отклонениях, если линейность характеристик звеньев системы нарушается, картина фазовых траекторий будет другой. Один из возможных вариантов изменения фазовых траекторий при больших отклонениях в этом случае показан на рис. 2.12. Здесь, кроме особой точки 0 типа центра, появляются два седла C₁ и C₂, что приводит фактически к неустойчивости системы. Но может иметь место и устойчивый предельный цикл (рис.2.13). Особые линии, которые делят фазовую область на участки с разными характерами движения, называются сепаратрисами (третий тип особых линий). Кроме этого, на фазовых портретах нелинейных систем может появиться, вместо особой точки, особый отрезок (рис.2.14).

Рис.2.13. Фазовый портрет с разными характерами

переходных процессов и предельным циклом

Рис.2.14. Фазовый портрет нелинейной системы с особым отрезком

Контрольные вопросы для самоподготовки

1. Что значит устойчивость «в малом»?

2. Что значит устойчивость «в большом»?

3. Что значит устойчивость «в общем»?

4. Что называется предельным циклом?

5. Что значит устойчивый предельный цикл?