Потенциальная энергия как характеристика внешнего воздействия

В предыдущем параграфе установлено, существуют воздействия, в ходе которых имеет место обратимый обмен энергией между несвободной частицей и её окружением; в этом мы убедились на примере кинематической характеристики «скорость». Такой обмен, как известно, качественно напоминает двухчастичный распад на частицы существенно разных масс. Поскольку скорость характеризует быстроту изменения кинематической характеристики «положение» частицы, следует научиться характеризовать внешнее воздействие также некой энергией, «чувствительной» к «положению» частицы в пространстве. Это может упростить описание внешнего воздействия на несвободную частицу; кроме того, открывает путь к упрощению анализа движения несвободной частицы в стационарных состояниях, в чём мы имели возможность убедиться ранее [3, с. 29–30].

Для упрощения математического описания, рассмотрим внешнее воздействие на несвободную частицу, совершающую одномерное движение вдоль прямой, например оси Х. Допустим, что вдоль этой оси действует сила F (х), зависящая только от положения частицы на оси х, но не зависящая ни от скорости u_х, ни от времени t; к такого рода силам относятся сила упругости, сила тяготения, сила трения и однородные силы, например, mg. С точки зрения математики, силу F (х), зависящую только от одного аргумента, можно рассматривать как производную от другой функции U (х), «чувствительной» к положению частицы х:

, (2.5)

где знак «минус» выбирается по историческим причинам. Тогда функция U (х) по отношению к известной силе F (х) служит первообразной и её можно найти интегрированием: , где С – произвольная постоянная. В частности, для однородной силы тяготения вблизи Земли первообразная U (x) = – F _о× х + С, где F _о = – mg, поскольку ось z направлена вверх от поверхности Земли, а постоянную С принято выбирать равной нулю. Отсюда немедленно следует, что вновь введённая скалярная величина U (z) = mgz (в школьном курсе U (h) = mgh) и имеет размерность энергии.

Найдём работу однородной силы тяготения вблизи Земли. Элементарная работа этой силы вида (2.5) dA = – m×g×dz º – dU. Поскольку интеграл от дифференциала равен поддифференциальному выражению, получаем уравнение вида: . Произведение mgz_i есть не что иное как энергия, определяемая положением несвободной частицы в её окружении, и обозначается символом U, тогда работа, совершаемая над частицей между точками z ₁ и z ₂, запишется:

, (2.6)

и, как видим, определяется разностью этой энергии U (z) в точках z ₁ и z ₂. Её принято называть потенциальной энергией частицы во внешнем поле, а формулы (2.5) и (2.6) показывают, что и работу силы, и саму силу удаётся выразить через эту скалярную величину. В свою очередь, силы, работа которых зависит от начального и конечного состояний, но не зависит от длины и формы траектории, называют потенциальными.

Следует заметить, формулы (2.5) и (2.6) важны тем, что установлена принципиальная возможность описывать внешние воздействия с помощью более простой, по сравнению с силой, скалярной величины U – потенциальной энергии частицы во внешнем поле. Она имеет смысл той доли энергии материальных объектов, создающих неизменное внешнее воздействие, которая может участвовать в обратимом обмене энергией с движущейся несвободной частицей.

В заключение подчеркнём, помимо простоты описания внешнего воздействия понятие потенциальной энергии имеет перед понятием силы то преимущество, что оно не так жёстко связано с моделью частицы. Как одно из проявлений фундаментального понятия энергии – она сохраняет свой смысл и тогда, когда модель частицы оказывается неприменимой. В частности, это относится для электрона в атоме. Более того, понятие энергии здесь окажется первой ступенькой на пути к описанию взаимодействия материальных объектов.