Центр масс системы частиц. Движение центра масс

Приступая к рассмотрению обозначенного вопроса, примем к сведению, для любой изолированной системы материальных объектов справедливы фундаментальные законы сохранения импульса и энергии; имеют место также законы сохранения массы и скорости изолированной системы. Сделанное обобщение базируется на экспериментальном и теоретическом материале всей физики. В частности, теоретики показали, что фундаментальные законы сохранения импульса, энергии и момента импульса (о последнем законе подробнее пойдёт речь позднее) есть результат отражения однородности и изотропности пространства и однородности времени. Что же касается закона сохранения скорости изолированной системы, то он обобщает фундаментальный закон инерции для свободной частицы.

Введённые нами ранее соотношения для массы и скорости, а также фундаментальные законы сохранения могут приобрести «плоть и кровь», только если мы конкретизируем рассматриваемую изолированную систему, связав её характеристики в целом с аналогичными характеристиками входящих в неё материальных объектов, частиц. Поскольку для произвольной системы частиц это сделать довольно трудно, поэтому выберем наиболее простой вариант модели изолированной системы – совокупность материальных объектов, взаимодействующих лишь кратковременно. Это означает – в начале и в конце процесса эти объекты можно моделировать свободными частицами (с ), характеристики которых уже известны. Такие процессы имеют место, например, при столкновениях, распадах и захватах атомных ядер, элементарных частиц, столкновениях шаров, разрывов снарядов и т.п. Кроме того, как показывают экспериментальные факты, в изолированных системах с подобными кратковременными взаимодействиями фундаментальные величины (масса, импульс, энергия) не только сохраняются, но и являются аддитивными (складывающимися). Иначе говоря, они могут быть представлены в виде суммы постоянных вкладов, соответствующих отдельным свободным объектам-частицам либо до, либо после взаимодействия.

Поскольку движение материальной точки может быть прописано посредством зависимости её радиус-вектора от времени, для простоты рассуждений будем рассматривать движение её вдоль некоторого выбранного направления, например, оси х, что упростить аналитическую запись. Кроме того учтём, всё происходит в инерциальной системе отсчёта.

Будем рассматривать движение системы материальных точек, состоящей из n частиц. Каждая частица имеет массу , а её положение в некоторый момент времени определяется координатой (рис. 1.6).Очевидно, скорость центра масс системы материальных точек (рис. 1.6) может быть найдена как первая производная от радиус-вектора центра масс системы, в нашем случае от координаты : . Центр масс системы частиц найдём, используя правило сложения параллельных сил (отобразите на рисунке), учитывая, что масса и координата являются аддитивными величинами, аналитическая запись центра масс примет вид:

, (1.4)

а скорость центра масс системы запишется:

.

Так как в этом выражении переменной величиной является координата , это позволяет операцию дифференцирования внести под знак суммы и аналитическое выражение для скорости центра масс системы частиц принимает вид:

Рис. 1.6. Определение скорости движения центра масс системы частиц

У

Х

где – скорость частицы, а , её импульс. Наконец, учтём, что импульс системы для свободных частиц аддитивен, т. е. равен сумме импульсов частиц, и скорость центра масс системы примет вид:

. (1.5)

В числителе выражения (1.5) стоит суммарный импульс, который в замкнутой системе сохраняется; значит, в правой части равенства находится постоянная величина, которая характеризует скорость движения центра масс или, корректнее, центра инерции системы частиц (тела). Иначе говоря, центр инерции замкнутой системы материальных точек совершает инерционное движение. Поскольку все инерциальные системы отсчёта равноправны, это позволяет всегда перейти к системе координат, связанной с этой точкой, и считать её покоящейся; в атомной физике это часто используется; удобство такой системы отсчёта очевидно – суммарный импульс частиц равен нулю.

Итак, разделив произвольные движения в системе непрерывно взаимодействующих частиц на поступательное и внутреннее, нам удалось смоделировать поступательное движение системы многих частиц движением одной «квазичастицы», называемой центром инерции и характеризуемой массой , положением её в пространстве (1.4) и скоростью движения (1.5). Почему нам это удалось?

Рассмотрение столкновений в изолированной системе частиц на основе фундаментального закона сохранения импульса (и энергии) позволяет установить лишь самые общие особенности таких процессов. «Внутренний» механизм взаимодействий, происходящих кратковременно, остаётся при этом нераскрытым. Тем не менее, нам удалось достичь большей подробности в описании движения системы многих частиц путём замены кратковременных взаимодействий в системе приближённо непрерывным. При таком подходе оказалось возможным анализировать свойства системы частиц исходя из концепции дальнодействия, не обращаясь к более подробному описанию взаимодействий. Почему? Согласно этой концепции размеры рассматриваемых систем частиц в любой момент времени ограничены, что позволяет не только к их частям, но и к изолированным системам в целом применять модель частиц.