Основные числовые множества. Абсолютная величина действительного числа. Линейные множества

Основные числовые множества:

1. Множество натуральных чисел ;

2. Множество целых чисел ;

3. Множество рациональных чисел , каждое число отождествляется с бесконечной десятичной периодической дробью;

4. Бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными числами I.

5. Множество действительных чисел определяется равенством .

6. Множество комплексных чисел .

Множество действительных чисел , дополненное элементами и , называют расширенным множеством действительных чисел и обозначается ; таким образом, .

Правило обращения периодичной десятичной дроби в обыкновенную:

1. Для обращения простой десятичной периодической дроби в обыкновенную нужно: в числителе поставить период десятичной дроби, а в знаменателе – число, состоящее из девяток, взятых столько раз, сколько знаков в периоде десятичной дроби.

Пример. ; .

2. Для обращения смешанной десятичной периодической дроби в обыкновенную нужно: в числителе взять число, стоящее в десятичной дроби до второго периода, минус число, стоящее в десятичной дроби до первого периода. В знаменателе написать столько девяток, сколько цифр в периоде и приписать к ним столько нулей, сколько цифр в исходной десятичной дроби от запятой до первого периода.

Пример. .

Определение. Множество, каждый элемент которого является действительным числом, называют линейным множеством.

Определение. – окрестностью точки называют интервал . Обозначение: .

Определение. Проколотой –окрестностью точки называют линейное множество вида . Обозначение:

Множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует число , что для любого выполнено условие (). При этом число называют верхней (нижней) границей множества .

Если множество является одновременно ограниченным сверху и снизу, то оно называется ограниченным.

Определение. Наименьшая из верхних границ непустого линейного множества называется точной верхней границей множества .

Обозначение: . Читается как «супремум множества ».

Определение. Наибольшая из нижних границ непустого линейного множества называется точной нижней границей множества .

Обозначение: . Читается как «инфимум множества ».

Определение. Число называют наибольшим элементом непустого линейного множества , выполняются два условия:

1. ;

2. .

Обозначение: .

Пример 4. Для . Для не существует.

Определение. Число называют наименьшим элементом непустого линейного множества , если выполняются два условия:

1. ;

2. .

Обозначение: .

Пример 5. Для .