Учебно-методическое пособие. Математический анализ

Анюшина Е.И., Гайсина А.Р.

Математический анализ

Для экономистов

Часть 1

учебно-методическое пособие

080116 Математические методы в экономике

080101 Экономическая теория

080102 Мировая экономика

080100 Экономика

080105 Финансы и кредит

080504 Государственное и муниципальное управление

080507 Менеджмент организации

080801 Прикладная информатика в экономике

Издательский дом «Астраханский университет»

Рецензенты:

Казаров С.А., кандидат физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа Астраханского государственного университета;

Карпасюк И.В., кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой математики Астраханского государственного технического университета;

Яксубаев К.Д., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры МиВТ Астраханского инженерно-строительного института.

Байгушева И.А., Кенжалиева С.З., Анюшина Е.И., Гайсина А.Р. Математический анализ для экономистов. Часть 1. – Астрахань: Издательский дом «Астраханский университет», 2007. – 103 с.

Пособие является первой частью сборника «Математический анализ для экономистов». Оно включает в себя задачи таких разделов математического анализа как «Введение в анализ» и «Дифференциальное исчисление функций одной переменной». Каждый параграф состоит из основных теоретических положений, методических указаний для решения типовых задач и заданий для самостоятельного решения. Рассмотрены задачи, раскрывающие экономический смысл математических понятий. В приложении содержатся итоговые контрольные задания в 19 вариантах для каждого теоретического раздела.

Для студентов I курса вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления, преподавателей и лиц, занимающихся самообразованием.

© Байгушева И.А., Кенжалиева С.З.,

Анюшина Е.И., Гайсина А.Р.

сост., 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ………………………………………………………………………..
УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ………………………..
I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ…………………………………………………………..…
1. Основные числовые множества. Абсолютная величина действительного числа. Линейные множества…………………………………………………………..
Примеры решения типовых задач……………………………………………….….
Задания для самостоятельной работы …………………………………………..…
2. Функция. Основные элементарные функции…………………………..……….
Примеры решения типовых задач…………………………………………..…...…
Задания для самостоятельной работы …………………………………………..…
3. Предел функции………………………………………………………….……….
3.1. Предел функции в точке…………………………………………………..……
3.2. Бесконечные пределы функций…………………………………………..……
3.3. Пределы функций на бесконечности………………………………………..…
3.4. Свойства функций, имеющих конечные пределы……………………….…....
3.5. Замечательные пределы………………………………………………………..
3.6. Односторонние пределы………………………………………………….……
Примеры решения типовых задач…………………………………………….....…
Задания для самостоятельной работы …………………………………………..…
4. Бесконечно малые функции…………………………………………………..….
Примеры решения типовых задач…………………………………………..…...…
Задания для самостоятельной работы …………………………………………..…
5. Непрерывность функции……………………………………………………..…..
5.1. Определение непрерывной функции в точке………………………………....
5.2. Односторонняя непрерывность……………………………………………....
5.3. Точки разрыва функции………………………………………………….….…
5.4. Свойства непрерывных функций………………………………………..….….
5.5.Понятие равномерной непрерывности…………………………………..….….
Примеры решения типовых задач…………………………………………..………
Задания для самостоятельной работы …………………………………………..…
6. Применение пределов в экономических расчетах……………………..……….
6.1. Сложные проценты………………………………………………………..……
6.2.Потоки платежей. Финансовая рента……………………………………..……
II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ………………………………………………………………………………….….
7. Производная функции. Основные правила дифференцирования………..……
7.1. Понятие производной……………………………………………………..……
7.2. Таблица производных……………………………………………………..……
7.3. Основные правила дифференцирования…………………………………...….
Примеры решения типовых задач……………………………………………..……
Задания для самостоятельной работы …………………………………………..…
8. Производные высших порядков…………………………………………..….…..
Примеры решения типовых задач…………………………………………..………
Задания для самостоятельной работы …………………………………………..…
9. Геометрический смысл производной. Касательная и нормаль к кривой….….
Примеры решения типовых задач……………………………………………..……
Задания для самостоятельной работы …………………………………………..…
10. Дифференциал. Приближенные вычисления с помощью дифференциала….
Примеры решения типовых задач……………………………………………......…
Задания для самостоятельной работы …………………………………………..…
11. Предельный анализ экономических процессов…………………………….….
11.1. Предельные величины………………………………………………………...
11.2. Производительность труда……………………………………………………
11.3. Функция потребления и сбережения…………………………………………
11.4.Эластичность……………………………………………………………………
Примеры решения типовых задач…………………………………………...…..….
Задания для самостоятельной работы …………………………………………..…
12. Правило Лопиталя……………………………………………………………….
Примеры решения типовых задач………………………………………...…….…..
Задания для самостоятельной работы …………………………………………..…
13. Промежутки монотонности и экстремумы функций…………………….……
Примеры решения типовых задач………………………………………...……...…
Задания для самостоятельной работы …………………………………………..…
14. Наибольшее и наименьшее значения функции на числовом промежутке….
Примеры решения типовых задач……………………………………………..……
Задания для самостоятельной работы …………………………………………..…
15. Направления выпуклости графика функции одной переменной. Точки перегиба…………………………………………………………………………………
Примеры решения типовых задач………………………………………..…...….…
Задания для самостоятельной работы …………………………………………..…
16. Асимптоты графика функции…………………………………………..………
Примеры решения типовых задач………………………………………………..…
Задания для самостоятельной работы …………………………………………..…
17. Построение эскиза графика функции одного переменного………..…………
Примеры решения типовых задач………………………………………………..…
Задания для самостоятельной работы …………………………………………..…
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………………………………………
ПРИЛОЖЕНИЕ………………………………………………………………………...

ПРЕДИСЛОВИЕ

Современная экономическая наука отличается широким систематическим использованием современных средств математики. Математические методы в единстве с экономическим анализом открывают новые возможности для экономической науки и практики. Сегодня специалисты в области экономики должны иметь фундаментальное математическое образование, владеть методами математического моделирования и анализа экономических процессов. Одной из базовых дисциплин в системе математического образования студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления, является «Математический анализ».

Настоящее учебно-методическое пособие представляет собой первую часть сборника «Математический анализ для экономистов», планируемого к изданию в трех частях. Оно охватывает такие разделы математического анализа как «Введение в анализ» и «Дифференциальное исчисление функций одной переменной». Во второй и третьей частях сборника изучаются разделы «Интегральное исчисление функций одной переменной», «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения», «Ряды». Все разделы проиллюстрированы простейшими приложениями математики в экономике, рассчитанными на уровень подготовки студентов 1-2 курсов. Сборник составлен в соответствии с требованиями государственных общеобразовательных стандартов в области математического анализа для специалистов с высшим образованием по экономическим и управленческим специальностям.

Каждая часть сборника состоит из двух глав, включающих несколько параграфов. В начале каждого параграфа помещены основные определения, теоремы, формулы, краткие сведения из теории и методические рекомендации по решению задач. Далее приводятся подробные решения типовых задач с краткими пояснениями и задания для самостоятельной работы со сквозной нумерацией для каждой части. В конце каждой части содержатся итоговые контрольные работы (19 вариантов). Теоретический и практический материал снабжен наглядными иллюстрациями.

Сборник составлен на основе опыта проведения лекционных и практических занятий по дисциплине «Математический анализ» для студентов экономических и управленческих специальностей преподавателями кафедры математического анализа Астраханского государственного университета. Его отличительными особенностями являются профессионально-практическая направленность изложения математических понятий, обширные методические рекомендации и варианты решения типовых задач. Поэтому он особенно полезен студентам заочного отделения при самостоятельном изучении дисциплины «Математический анализ» и выполнении контрольных работ, а также тем, кто самостоятельно намерен восполнить пробелы в своём математическом образовании.

Для краткости записи формулировок определений и теорем авторы используют логические символы и Символ называется квантором существования (читается как «существует»), а символ – квантором общности (читается как «для любого», «для каждого»).