Композиції деяких геометричних перетворень

Зупинимось на питанні композиції деяких геометричних перетворень.

Приклад 1. Нехай на площині задані дві точки та . Розглянемо перетворення площини, яке полягає у тому, що довільна точка спочатку симетризується відносно точки , а потім її образ симетризується відносно точки . Очевидно, що мова іде про композицію двох центральних симетрій . Нехай та (рис. 5).

Якщо точка не належить прямій , то у трикутнику відрізок буде середньою лінією, тому . Аналогічну рівність легко отримати і у випадку, коли точка належить прямій . Таким чином, композиція двох центральних симетрій переводить точку у точку , тому має місце рівність

.

Приклад 2. Нехай на площині задані три точки , та , які не лежать на одній прямій. Розглянемо питання, яке перетворення являє собою композиція трьох центральних симетрій відносно даних точок, тобто перетворення . Нехай , та , а також точка є серединою відрізка (рис. 6). Тоді чотирикутник буде паралелограмом, оскільки відрізки та рівні та паралельні (вони є середніми лініями трикутників та ). Таким чином, точки та симетричні відносно точки .

Отже,

,

де точка - четверта вершина паралелограма .

Застосуємо одержаний факт до розв’язання задачі про побудову п’ятикутника за серединами його сторін.

Нехай - шуканий п’ятикутник та точки - середини його сторін (рис. 7). Очевидно, що для розв’язання задачі достатньо знайти хоча б одну вершину п’ятикутника.

Проведемо аналіз. При симетрії вершини відносно точки одержимо точку . Симетрія її відносно точки дає точку . Продовжуючи аналогічні міркування дальше, в кінці ми симетризуємо вершину відносно точки та одержимо початкову точку .

Таким чином отримуємо рівність

. (2)

Використовуючи результати прикладу 3, дістаємо, що

,

де - четверта вершина паралелограма . Тому рівняння (2), у якому невідомим є точка , можна спростити до виду

.

Оскільки , де - четверта вершина паралелограма , то отримуємо рівність , яка можлива тільки тоді, коли точки та співпадають.

Таким чином, для відшукання невідомої вершини п’ятикутника спочатку, використавши точки та , знаходять точку - четверту вершину паралелограма , а потім будують шукану точку , як четверту вершину паралелограма .

Приклад 3. Розглянемо композицію двох осьових симетрій відносно паралельних прямих та , тобто перетворення . Нехай відстань між прямими дорівнює . Щоб встановити вид перетворення введемо у розгляд прямокутну декартову систему координат, направивши вісь по прямій . Нехай пряма перетинає вісь у точці . Тоді при осьовій симетрії відносно прямої точка перейде у точку , а при осьовій симетрії відносно прямої точка перейде у точку , оскільки точка є серединою відрізка (рис. 8). Звернувши увагу на те, що вектор не залежить від вибору точки , робимо висновок, що перетворення є паралельне перенесення на вектор , довжина якого дорівнює подвійній відстані між прямими та і який напрямлений перпендикулярно до заданих прямих від прямої до прямої . Таким чином,

.

Одержану рівність можна розуміти і навпаки, а саме: довільне паралельне перенесення на вектор можна замінити композицією двох осьових симетрій відносно двох паралельних прямих, проведених перпендикулярно до вектора та розташованих на відстані .

Приклад 4. Розглянемо композицію двох осьових симетрій відносно двох прямих та , які перетинаються. Позначимо дане перетворення через та встановимо його вид. Будемо вважати, що дані прямі перетинаються у деякій точці та утворюють кут . Нехай при осьовій симетрії відносно прямої точка перейде у точку , а при осьовій симетрії відносно прямої точка перейде у точку (рис. 9). Легко бачити, що , а також, що . Тому перетворення є поворот навколо точки на кут : .

Навпаки, будь-який поворот навколо точки на кут можна розглядати, як композицію двох осьових симетрій відносно двох прямих, які перетинаються у точці та утворюють кут .