Поняття перетворення площини. Приклади перетворень площини

Відображення, які є одночасно ін’єктивними та сюр’єктивними, називають бієктивними або взаємно однозначними.

На рисунку 1 у ролі множини вибрано точки кола, а у ролі множини - точки діаметра цього кола. Відображення побудовано так, що кожній точці кола поставлено у відповідність її ортогональну проекцію на діаметр. Дане відображення є сюр’єктивним, але не ін’єктивним.

На рисунку 2 множину утворюють точки півкола, а множину - точки прямої, яка містить діаметр кола. Відображення побудовано так, як і у попередньому прикладі. У даному випадку ми маємо приклад ін’єктивного, але не сюр’єктивного відображення.

Приклад бієктивного відображення наведено на рисунку 3, де - точки півкола, а - точки його діаметра.

Якщо множини та співпадають, то говорять про відображення множини на себе. Нехай - множина точок площини (або деякої фігури ), а - взаємно однозначне відображення цієї множини на себе. У цьому випадку називають перетворенням площини (фігури ).

Наведемо приклади окремих перетворень площини.

1. Нехай заданий вектор , паралельний до деякої площини. Довільній точці площини поставимо у відповідність точку таку, що . Одержане перетворення, яке ми дальше будемо позначати символом , називається паралельним перенесенням на вектор .

2. Нехай на площині задана деяка пряма . Кожній точці площини поставимо у відповідність симетричну їй відносно прямої точку . Нагадаємо, що дві точки називаються симетричними відносно деякої прямої, якщо відрізок, який їх сполучає, перпендикулярний до даної прямої та ділиться нею пополам. Симетричними до точок на прямій вважаються ці самі точки. Побудоване таким чином відображення є перетворенням площини. Його називають симетрією відносно прямої або осьовою симетрією. Пряму при цьому називають віссю симетрії. Розглянуте перетворення дальше будемо позначати символом .

3. Зафіксуємо на площині деяку точку та поставимо у відповідність довільній точці точку , симетричну їй відносно точки (тобто точка є серединою відрізка ). Симетричною до точки вважається ця сама точка. Побудоване перетворення площини називають симетрією відносно точки або центральною симетрією. Точку називають центром симетрії. Позначати перетворення центральної симетрії будемо символом .

4. Розглянемо на площині деяку точку та орієнтований кут , тобто кут із вказаним на ньому напрямком повороту однієї сторони кута до суміщення з другою найкоротшим шляхом. Поставимо у відповідність довільній точці точку таку, що та орієнтовані кути та рівні. У цьому випадку кажуть, що точку одержали в результаті повороту точки навколо точки на кут . Точці при цьому поставимо у відповідність цю саму точку. Ми одержали перетворення площини, яке називають поворотом навколо точки на кут та позначають . Очевидно, що поворот навколо точки на кут є центральною симетрією з центром у даній точці, тобто .

5. Поставимо у відповідність кожній точці площини цю саму точку. Дане перетворення площини називається тотожнім. Тотожне перетворення будемо позначати символом .

Наведені приклади не вичерпують усі можливі види геометричних перетворень. Дальше ми детальніше розглянемо як дані, так і інші геометричні перетворення площини, а також їхні застосування.