Відношення площ афінно еквівалентних фігур

Дослідимо питання, як при афінних перетвореннях змінюються площі відповідних фігур. Розпочнемо із трикутника. Нехай у прямокутній декартовій системі координат три не колінеарні точки визначають деякий трикутник. Як нам відомо (лекції 5-6, п.2), площу цього трикутника можна обчислити за формулою

.

При афінному перетворенні

вершини трикутника перейдуть у нові точки , координати яких ми продовжуємо розглядати у попередній прямокутній декартовій системі координат та які задовольняють рівності

, .

Обчислюючи площу трикутника , дістаємо

Таким чином, перехід до нової афінної системи змінює площу трикутника у разів. Даний факт також дозволяє стверджувати, що при афінному перетворенні зберігається відношення площ двох довільних трикутників.

Оскільки площі більш складних геометричних фігур можна обчислювати за допомогою граничного переходу через площі вписаних у ці фігури трикутників, то можна стверджувати, що при афінному перетворенні зберігається відношення площ двох довільних фігур.

Розглянемо два приклади застосування даного твердження.

Приклад 3. Обчислити площу паралелограма, утвореного при перетині двох пар паралельних прямих , та , .

Розв’язання. При афінному перетворенні даний паралелограм перейде у прямокутник, обмежений прямими та (рис. 2), площа якого, очевидно, дорівнює . Оскільки визначник матриці даного перетворення дорівнює і , то .

Приклад 3. Обчислити площу еліпса .

Розв’язання. Розглянемо афінне перетворення, задане рівностями . Воно відображає даний еліпс у одиничне коло (рис. 3). Площа відповідного круга . Оскільки визначник матриці даного перетворення дорівнює і , то .