Характеристичне рівняння

При побудові ліній другого порядку за допомогою інваріантів фактично доводиться розв’язувати дві основні задачі. Перша із них полягає у максимальному спрощенні рівняння лінії, зокрема у зведенні його до канонічного виду. Друга задача полягає у відшуканні нової системи координат, в якій лінія задається перетвореним спрощеним рівнянням. Очевидно, що розв’язання другої задачі полягає у знаходженні нового початку координат та кута повороту, при якому координатні осі набувають головних напрямків. Покажемо, як, користуючись інваріантами рівняння лінії, визначати кут повороту.

Нехай рівняння

(4)

визначає головний діаметр, який ділить пополам перпендикулярні до нього хорди

, (5)

які паралельні до вектора . Запишемо рівняння (4) у вигляді

. (6)

Оскільки вектор перпендикулярний до прямої (6), то він буде паралельним до вектора . Тому , або

.

Ми отримали систему лінійних однорідних рівнянь

, (7)

яка має ненульовий розв’язок тільки при умові, коли її визначник дорівнює нулю, тобто, коли виконується рівність

. (8)

Одержане рівняння називається характеристичним рівнянням лінії другого порядку. Через інваріанти воно записується у виді

. (9)

Характеристичне рівняння завжди має дійсні корені, оскільки його дискримінант рівний . Використовуючи дані корені, кутовий коефіцієнт головного напрямку можна обчислити за допомогою співвідношень

, (10)

які випливають з рівностей (7).