Застосування геометричних перетворень для побудови ліній другого порядку

Застосуємо перетворення паралельного перенесення та повороту до побудови ліній другого порядку, вважаючи, що вони задаються у виді (1).

Спочатку розглянемо випадок центральних ліній. Нехай точка – центр лінії (1), тобто її координати є розв’язком системи

.

Тоді після паралельного перенесення системи у новий початок – точку в новій системі координат у перетвореному рівнянні коефіцієнти біля та будуть рівні нулю. Повертаючи одержану систему координат на кут , який визначається одним із коренів рівняння (5), отримаємо ще одну систему координат . У цій системі рівняння лінії не міститиме як доданків із першими степенями змінних та , так і доданка з добутком . Побудова лінії за одержаним спрощеним рівнянням, яке можна записати у канонічному виді, здійснюється в системі .

Зауважимо, що, оскільки згідно з формулами (2), (4), та , , то співвідношення

,

,

які поєднують формули паралельного перенесення та повороту, дають можливість отримати спрощене рівняння безпосередньо із рівняння (1).

Задача 3. За допомогою геометричних перетворень спростити рівняння та побудувати лінію.

Розв’язання. Склавши систему для відшукання центра

та розв’язавши її, дістаємо початок нової системи координат, який знаходиться в точці . Обчисливши новий вільний член , записуємо рівняння лінії у системі координат . Воно матиме вид . Для знаходження кута повороту складаємо рівняння

,

звідки дістаємо . Нехай . Формули (6) матимуть вигляд

, .

Підставляючи у рівняння лінії та спрощуючи одержаний вираз, дістаємо рівняння . Очевидно, що побудова заданої лінії зводиться до побудови двох прямих у системі , одержаній поворотом системи на кут (рис. 3).

У випадку, коли лінія, яка задана рівнянням (1), не має центра, як нам відомо із лекцій 19, 20, головний напрям визначається кутовим коефіцієнтом . Оскільки спряжений напрям для осі симетрії параболи дорівнює , то її рівняння запишеться у вигляді . Якщо виконати паралельне перенесення системи координат у вершину параболи – точку , яку можна знайти, розв’язавши систему рівнянь

то в одержаному рівнянні вільний член перетвориться в нуль. Це випливає з того, що парабола буде проходити через початок координат. Після повороту осі на кут у рівнянні пропаде доданок, який містить добуток , а вільний член не зміниться. Отримавши рівняння лінії у канонічному виді , її можна побудувати у новій системі координат . Наведемо відповідний приклад.

Задача 4. Звести до канонічного виду рівняння та побудувати параболу.

Розв’язання. Знайдемо вершину параболи. Для цього розв’яжемо систему рівнянь

.

Дістаємо , звідки дістаємо координати нового початку координат . Виконавши паралельне перенесення отримуємо рівняння лінії у вигляді

.

Оскільки , то кут повороту . Після застосування формул повороту , , рівняння лінії запишеться у виді . Зобразивши систему координат та користуючись одержаним рівнянням, виконуємо побудову параболи (рис.4).

Зауважимо, що для більш точної побудови можна знайти деякі допоміжні точки на параболі, наприклад, точки її перетину з координатними осями. У нашому випадку при дістаємо рівняння , яке не має розв’язків, а при – рівняння із коренями , які визначають точки перетину параболи з віссю . При виконанні зображення використано також точки та , які симетричні до точок та відносно осі .