Спрощення рівняння лінії за допомогою повороту системи координат

Дослідимо, як перетворюється рівняння лінії при повороті системи координат навколо початку координат – точки на деякий кут . Нехай прямокутна декартова система координат одержана поворотом системи навколо точки на кут . Розглянемо довільну точку площини, яка в початковій системі має координати , а у новій системі – координати та нехай промінь утворює з віссю кут (рис. 2). Оскільки

, ,

, ,

то

,

.

Формули

, (4)

виражають зв’язок між старими та новими координатами довільної точки площини. Вивчимо питання, як користуючись співвідношеннями (4) спростити рівняння лінії (1). Для цього, підставивши рівності (4) в (1), дістаємо

.

Після очевидних перетворень одержане рівняння можна записати у виді

.

Не обчислюючи всі коефіцієнти одержаного рівняння, зауважимо тільки, що

,

.

Вважаючи, що кут повороту , виберемо його так, щоб . Із рівняння

після ділення його на та введення заміни дістаємо

. (5)

Із одержаним рівнянням ми уже зустрічались, вивчаючи питання існування головних напрямків лінії (1). Нагадаємо, що воно завжди має розв’язки, а корені даного рівняння дозволяють записати рівняння осей симетрії у вигляді , .

Зробимо наступні висновки:

1) при повороті системи координат на кут, при якому вісь приймає головний напрямок, у рівнянні лінії коефіцієнт біля добутку дорівнює 0;

2) вільний член у перетвореному рівнянні не змінюється.

Зауважимо також, що співвідношення дозволяють записати формули перетворення координат (4) при повороті системи у вигляді

, , (6) де – один із коренів рівняння (5).

Задача 2. Рівняння звести до канонічного виду та назвати лінію, яка задається цим рівнянням.

Розв’язання. За допомогою повороту системи координат позбудемось доданка, який містить добуток змінних та . Для цього складемо та розв’яжемо рівняння (5): , . Із двох одержаних значень виберемо одне. Нехай . Тоді формули повороту (6) набувають вигляду

, .

Підставляючи та у задане рівняння, дістаємо

,

звідки , або .

Одержане канонічне рівняння показує, що ця лінія – еліпс.