Приклади

Задача 1. Визначити, на якій відстані від початку координат проходить площина , задана рівнянням .

Розв’язання. Користуючись рівністю (1), дістаємо

Відповідь. 2.

Задача 2. У трикутній піраміді SABC ребра SA, SB та SC взаємно перпендикулярні та рівні відповідно . Обчислити довжину висоти піраміди SH.

Розв’язання. Введемо прямокутну систему координат, вибравши початок координат у точці , а промені SA, SB та SC у ролі осей . Оскільки на координатних осях площина ABC відтинає відрізки та , то її рівняння запишеться у вигляді . Скориставшись формулою (1), одержуємо довжину висоти SH, як відстань від точки до площини (ABC):

.

Задача 3. Встановити, чи перетинає площину відрізок, кінці якого знаходяться у точках та .

Розв’язання. Визначимо знак виразу для кожної із заданих точок. Знаходимо

,

.

Оскільки обидві точки розташовані в одному півпросторі, то відрізок площину не перетинає.

Задача 4. Скласти рівняння площини, яка проектує пряму на площину , задану рівнянням .

Розв’язання. Очевидно, що проектуюча площина паралельна до векторів та , перший з яких паралельний до заданої прямої, а другий перпендикулярний до площини . Крім цього, площина повинна проходити через точку , що належить прямій. Рівняння шуканої площини запишемо у вигляді визначника

.

Після очевидних обчислень дістаємо шукане рівняння у вигляді .