Взаємне розташування трьох площин

Взаємне розташування двох площин можна досліджувати, користуючись також і методами лінійної алгебри. Покажемо, як цей метод використовується при дослідженні взаємного розташування трьох площин , заданих рівняннями , .

Дослідимо систему рівнянь

. (4)

Для цього введемо в розгляд матриці

та .

Позначимо їхні ранги відповідно через та .

Можливі наступні випадки.

a) . У цьому випадку система (4) має єдиний розв’язок, а площини мають єдину спільну точку.

б) . Система (4) має однопараметричну нескінченну множину розв’язків. Всі три площини у цьому випадку перетинаються по спільній прямій або дві з площин співпадають; а третя їх перетинає.

в) . Система (4) має двопараметричну нескінченну сім’ю розв’язків, тобто, рівносильна одному із трьох її рівнянь. У цьому випадку всі три площини співпадають.

г) , . Система (4) розв’язків не має. Площини попарно перетинаються по трьох паралельних прямих, або дві з площин паралельні, а третя їх перетинає.

д) , . Система (4) розв’язків не має. У цьому випадку площини паралельні між собою (можливий випадок співпадання двох із них).